5.4.2. Квантифікація предикатів. Квантор існування і квантор загальності

Крім операцій алгебри висловлень над предикатами виконують ще 2 логічні операції, які називають кванторами.

Розглянемо два висловлення:

р = “існує х, що х>3” і q = “х>3 для деякого х”.

Вони істинні, рівносильні між собою, відрізняються лише побудовою речення, що з погляду алгебри логіки не так вже й істотно. Логічна структура їх визначається виразами “існує» і “для деякого”. Символічно цей вираз записують так:

(х).Р(х) або (х)[Р(х)].

Читають: “існує таке х, що Р(х)”.

Наприклад, наведене висловлення р можна записати так:

(х). х>3 або (х)[х>3].

Символ  називають квантором існування. Записуючи квантор перед предикатом, здійснюють квантифікацію предиката. Очевидно, висловлення (х).Р(х) істинне тоді і тільки тоді, коли існує принаймні одне значення а змінної х, при якому Р(а)1.

Можна здійснювати повторну квантифікацію виразу, що містить більше, ніж одну змінну:

(х)(y)[х+у=2] – тут спочатку квантифікують предикат за змінною х, а потім – за у;

(у)(х)[х+у=2] – тут квантифікують спочатку за змінною у, а потім – за х.

У даному випадку порядок здійснення квантифікації – неістотний.

Іноді при застосування квантора існування вказують, що значення змінної беруть з деякої множини або накладають умову:

(хМ).Р(х) або (х).(хМ)Р(х),

(х>a).Р(х) або (х).(х>a)Р(х).

Деколи доцільно підкреслити, що існує єдиний елемент хА такий, що Р(х). Для цього використовують такі позначення:

(₁хА).Р(х) або (!хА).Р(х).

Розглянемо висловлення:

s = ”при будь-якому х: х²–х+1>0”;

r = ”при кожному х: х²–х+1>0”;

t = ”для довільного х: х²–х+1>0”.

Замість цих фраз записують:

(х).Р(х) або (х)[Р(х)].

Для наведених висловлень: (х).(х²–х+1>0) або (х)[ х²–х+1>0].

Символ  (початкова буква від англ. All перевернута) називають квантором загальності.

Квантифікація при цьому п-місного предиката дає (п–1)-місний предикат, а одномісного – дає нуль-місний предикат, тобто висловлення.

Порядок повторного застосування квантора загальності не має значення:

(х)(у).Р(х,у)= (у) (х).Р(х,у).

Квантори існування і загальності можна по-черзі застосувати до предиката. Проте тут порядок квантифікації має істотне значення. Наприклад,

Р(х,у) = “х+у=2”, х, у  R.

Р= (у)(х) [х+у=2] – при довільному дійсному у існує таке х, що х+у=2. |P|=1;

Q= (х)(у) [х+у=2] – існує таке х, що при довільному дійсному у х+у=2. |Q|=0.

Отже, у загальному випадку (у)(х). Р(х,у)  (х)(у). Р(х,у).

Принцип заперечення. Щоб дістати заперечення предиката (зокрема висловлення), який містить квантори існування та загальності, досить змінити квантори загальності на квантори існування і навпаки, а замість предиката взяти його заперечення.

56