- •Практическое занятие №1 Измерение. Погрешности измерений
- •Методика вычислений инструментальных погрешностей прямых (непосредственных) измерений
- •Методика оценки случайных погрешностей прямых равноточных измерений
- •Записывается результат измерения:
- •Методика оценки случайных погрешностей косвенных измерений
- •Правила приближенных вычислений, записи погрешностей и результатов измерения
- •Методика построения графиков и графическое определение погрешностей
- •Зависимость чувствительности α весов от величины нагрузки p
- •Задачи для самостоятельного решения
Методика вычислений инструментальных погрешностей прямых (непосредственных) измерений
Прямыми называются измерения, при которых результат измерения получается путем непосредственного сравнения измерения величины с эталоном или его эквивалентом, принятым за единицу измерения. X=n·[x],
где n – число, целое или дробное, [x] – единица измерения.
Погрешность измерения, выраженная в единицах измеряемой величины называется абсолютной погрешностью ∆X; численно она равна разности между результатом измерения Х и истинным значением Х0 измеряемой величины:
∆Х = Х - Х0. (1)
Если абсолютная погрешность по модулю не превышает некоторого положительного числа ∆Xм, то это число называется максимальной абсолютной погрешностью:
|Х – Х0| = |∆Х |≤ ∆Xм . (2)
Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины:
. (3)
Аналогично максимальная относительная погрешность равна отношению максимальной абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины:
. (4)
Точность измерительных инструментов, приборов принято оценивать величиной приведенной погрешности, равной отношению максимальной абсолютной погрешности к верхнему пределу измерения для данного прибора (к пределу шкалы Xм):
. (5)
Приведенная погрешность, выраженная в процентах, называется классом точности прибора. Всего ГОСТом установлено восемь классов точности для измерения электрических величин: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0. Класс точности проставляется по шкале прибора. По известному классу точности можно найти максимальную абсолютную погрешность отдельного измерения:
. (6)
Например, вольтметр с классом точности 1,0 и шкалой до 30 В измеряет приложенное к нему напряжение с максимальной абсолютной погрешностью:
.
Это означает, что если результат измерения, например, 15,2 В, то истинное значение отличается от 15,2 В не больше, чем на 0,3 В, т.е.
или в другой записи .
Если на приборе не указан класс точности, то его максимальная абсолютная погрешность принимается равной половине цены деления шкалы. В некоторых случаях, например, при измерении времени секундомером, за величину максимальной абсолютной погрешности принимается целое деление (например, 0,02 с). В приборах с выдачей результатов измерения непосредственно на цифровом индикаторе за максимальную погрешность часто принимается единица младшего разряда.
В общем случае результаты прямых измерений содержат систематические, случайные и грубые погрешности. Систематические погрешности могут быть устранены либо в процессе измерения, либо учтены введением поправок в результаты. Поэтому условимся считать, что результаты прямых измерений содержат только случайные и грубые погрешности.
Методика оценки случайных погрешностей прямых равноточных измерений
Измерения называются равноточными, если они проведены одинаковыми по точности методами, или одним и тем же методом в одинаковых условиях. В результате n измерений некоторой физической величины x, истинное значение которой X0 неизвестно, вследствие наличия случайных погрешностей получается ряд численных значений x1; x2, … , xn, которые в общем случае отличаются друг от друга и от X0.
При обработке результатов этих измерений возникают две задачи:
-
Нахождение по результатам отдельных измерений наилучшей оценки истинного значения, т.е. значения, наиболее близкого к истинному;
-
Определение погрешности полученной оценки.
Для большого числа практических случаев, когда грубые погрешности (промахи) встречаются редко, а случайные погрешности распределены по нормальному закону, наилучшей оценкой измеряемой величины является среднее арифметическое отдельных результатов измерения:
(7)
Отдельные результаты измерений являются случайными величинами, поскольку содержат случайные погрешности ∆Хi:
∆хi = хi – х0
Среднее арифметическое также является случайной величиной, как функция случайных величин. Поэтому абсолютная погрешность среднего арифметического, равная:
также будет случайной.
Это говорит о том, что истинное значение абсолютной погрешности найти невозможно, можно лишь тем или иным способом приближенно оценить ее значение. Например, можно считать, что с определенной вероятностью значение абсолютной погрешности по абсолютной величине будет меньше некоторой заданной величины , т.е.
. (8)
Отсюда следует, что истинное значение измеряемой величины с вероятностью накрывается интервалом , т.е.
. (9)
Интервал называется доверительным, а вероятность - доверительной вероятностью. Очевидно, чем больше - ширина доверительного интервала, тем с большей вероятностью доверительный интервал заключает в себе Х0.
Таким образом, для характеристики случайной погрешности необходимо знать два числа, а именно – величину оценки абсолютной погрешности , которую часто называют просто абсолютной погрешностью, и величину доверительной вероятности.
В качестве ширины доверительного интервала можно взять
- среднеквадратичную погрешность или ее оценку Sx. Для отдельного измерения она равна:
. (10)
Среднее арифметическое имеет меньшее рассеивание и соответственно его среднеквадратичная погрешность будет меньше в раз.
. (11)
В физических, биологических, медицинских, физиологических и др. измерениях обычно пользуются значениями доверительной вероятности = 0,9; = 0,95; =0,99. При заданной доверительной вероятности ширину доверительного интервала (оценку погрешности) удобно находить в виде долей, т.е.:
, (12)
где - коэффициент, зависящий от величины доверительный вероятности и от объема выборки n. При интервал находится по таблице Стьюдента, при n> 30 он очень мало отличается от таблицы нормального распределения и в этом случае может быть найден по той же таблице при n= ∞.
Если взять величину абсолютной погрешности , то вероятность того, что доверительный интервал содержит Х0 будет равна = 0,997. Это очень большая вероятность и поэтому говорят, что с практической уверенностью можно утверждать, что отклонение от Х0 больше чем на невозможно. Это правило известно под названием “правила трех сигм”.
Наряду со среднеквадратичной погрешностью для оценки случайной погрешности пользуются и среднеарифметической погрешностью r, вычисленной по формуле:
. (13)
Все приведенные выше результаты теории случайных погрешностей применимы для характеристики точности измерения лишь в случае, если измерение многократно повторено.
Последовательность действий при оценке истинного значения измеряемой величины и оценки случайной погрешности следующая:
-
находится среднее арифметическое по результатам измерений:
, (14)
-
находится оценка среднеквадратической погрешности отдельного результата измерения:
, (15)
-
находится максимальная абсолютная погрешность отдельного измерения:
, (16)
-
проверяется, все ли результаты измерений укладываются в интервал , если да, то переходим к следующему пункту, если нет, то такое значение отбрасыватся (тем самым мы избавляемся от промахов) и вычисления следует начать сначала.
-
находится среднеквадратическая погрешность среднего арифметического:
(17)
-
находится из таблицы коэффициент по заданным и п и определяется оценка абсолютной погрешности:
(18)