Глава 3. Системы счисления

1. Понятие системы счисления

Совокупность приемов и методов записи чисел называется системой счисления. Системы счисления (СС) бывают непозиционные (значение символа не зависит от его положения в числе) и позиционные (значение цифры определяется положением в числе).

Любая позиционная система счисления характеризуется основанием. Основание (базис) q позиционной системы счисления – количество знаков или символов, используемых для изображения в данной системе:

– двоичная система счисления – основание 2 – базисные числа (бч) 0, 1;

– 8-ричная – основание 8 – бч 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7;

– 10-ричная – основание 10 – бч 0 – 9;

– 16-ричная – основание 16 – бч 0 – 9, a, b, c, d, e, f.

Для позиционной системы счисления справедливо равенство:

или

,

где А_q – десятичный эквивалент числа, записанного в системе счисления с основанием q; а_I – i-я цифра числа а; n + 1, m – количество целых и дробных разрядов.

2. Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую делением на основание новой системы счисления

1. Из десятичной в двоичную систему счисления.

Пример. Перевести десятичное число 98 в двоичную систему счисления 98₁₀ ® х₂. Исходное число делят на основание новой системы счисления, переведенное в систему счисления исходного числа. Полученный результат представляют в нужной системе счисления.

98₁₀ = 1100010₂

Проверка: 1 × 2⁶ + 1 × 2⁵ + 1 × 2¹ = 64 + 32 + 2 = 98₁₀

2. Из десятичной в шестнадцатеричную систему счисления

Пример. Перевести число 3060 из 10-тичной в 16-ричную систему счисления.

3060₁₀ = b f 4₁₆

Проверка с помощью полинома:

b f 4₁₆ ® х₁₀ 11 · 16² + 15 · 16¹ + 4 · 16⁰ =

= 2816 + 240 + 4 = 3060

3. Из десятичной в восьмеричную систему счисления

Пример. Перевести число 546 из 10-тичной в 8-ричную систему счисления

546₁₀ = 1042₈

Проверка с помощью полинома:

1042₈ ® х₁₀ 1 · 8³ + 4 · 8¹ + 2 · 8⁰ = 512 + 32 + 2 = 546

3. Сложение и вычитание в системах счисления с основанием 2, 8, 16

Для этого можно использовать таблицы сложения для указанных систем счисления. Они приведены в приложении 1.

Можно складывать в столбик как в десятичной системе счисления. При этом следует помнить, что если при сложении разрядов получится значение большее, чем основание системы счисления, то данное значение надо представить в той системе счисления, в которой производится сложение. Младший разряд записать как результат суммы складываемых разрядов, а старший разряд перенести и суммировать вместе со сложением старших разрядов слагаемых.

При выполнении вычитания можно делать заем из старшего разряда уменьшаемого, при этом добавляется количество единиц, равное основанию системы счисления. Например, при заеме в десятичной системе счисления прибавляется 10 единиц, в двоичной – 2.

Пример 1. Сложить числа:

а) 10000000100₍₂₎ + 111000010₍₂₎ = 10111000110₍₂₎;

б) 223,2₍₈₎ + 427,54₍₈₎ = 652,74₍₈₎;

в) 3B3,6₍₁₆₎ + 38B,4₍₁₆₎ = 73E,A₍₁₆₎.

Пример 2. Выполнить вычитание:

а) 1100000011,011₍₂₎ – 101010111,1₍₂₎ = 110101011,111₍₂₎;

б) 1510,2₍₈₎ – 1230,54₍₈₎ = 257,44₍₈₎;

в) 27D,D8₍₁₆₎ – 191,2₍₁₆₎ = ЕС,В8₍₁₆₎.