- •Начертательная геометрия
- •Глава 1
- •1.1. Центральное проецирование. Понятие о проективном пространстве
- •1.2. Параллельное проецирование.
- •1.3. Инварианты параллельного проецирования
- •1.4. Ортогональное проецирование.
- •Глава 2
- •2.1. Комплексный чертеж точки
- •2.3 Комплексные чертежи поверхностей
- •2.3.1. Комплексные чертежи плоскостей
- •Принадлежность прямой и точки плоскости. Главные линии плоскости. Проекции плоских фигур
- •Плоскости частного положения
- •6. Плоскости уровня
- •2.3.2. Многогранные поверхности. Многогранники
- •2.3.3 Кривые поверхности.
- •2.3.3.1. Общие понятия и определения.
- •Аналитический - при помощи уравнений;
- •При помощи каркаса;
- •Кинематический, т. Е. Перемещением линий в пространстве.
- •Геометрической части - совокупности геометрических фигур, с помощью которых можно образовать поверхность.
- •Алгоритмической части - алгоритма формирования поверхности при помощи фигур, входящих в геометрическую часть определителя.
- •2.3.3.2. Линейчатые поверхности.
- •2.3.3.2.1 Развертывающиеся линейчатые поверхности
- •Цилиндрические поверхности
- •Конические поверхности
- •2.3.3.2.2. Неразвертывающиеся (косые) линейчатые поверхности.
- •Линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма (поверхности Каталана) Прямой цилиндроид
- •Прямой коноид
- •Косая плоскость
- •Винтовые поверхности
- •А. Прямой геликоид
- •Б. Наклонный геликоид
- •2.3.3.3. Поверхности вращения
- •2.3.3.4. Каналовые и циклические поверхности
- •Глава 3
- •Общие положения
- •1. Способ замены плоскостей проекций
- •Замена фронтальной плоскости проекций (преобразование системы п2/п1 в систему п4/п1)
- •Замена горизонтальной плоскости проекций (преобразование системы п2/п1 в систему п2/п4)
- •Основные задачи, решаемые способом замены плоскостей проекций
- •3.3. Способ вращения
- •Вращение вокруг проецирующей прямой
- •Основные задачи, решаемые способом вращения
- •Вращение вокруг линии уровня (совмещение с плоскостью уровня)
- •Глава 4
- •4.1. Задачи, выражающие отношения между фигурами
- •4.1.1. Относительное положение прямых
- •4.1.2. Относительное положение прямой и плоскости, двух плоскостей
- •4.1.3. Взаимно перпендикулярные прямые и плоскости
- •Проекции прямого угла
- •Прямая, перпендикулярная к плоскости
- •Линии наибольшего наклона
- •Частные случаи
- •Взаимно перпендикулярные прямые общего положения
- •Взаимно перпендикулярные плоскости
- •4.2. Задачи, в которых определяются общие элементы (точки или линии) геометрических фигур
- •4.2.1. Определение общих элементов простейших геометрических фигур из условия принадлежности (Вспомогательные позиционные задачи)
- •4.2.2. Первая позиционная задача (построение точек пересечения линии и поверхности)
- •4.2.3. Вторая позиционная задача (построение линии пересечения двух поверхностей)
- •Способ вспомогательных плоскостей
- •Плоские сечения некоторых поверхностей вращения
- •План решения:
- •4.2.4. Способ вспомогательных сфер
- •4.2.5. Особые случаи пересечения поверхностей второго порядка
- •Глава 5
- •5.1. Общие положения
- •5.2. Задачи на определение расстояний между геометрическими фигурами
- •5.3. Задачи на определение действительных величин плоских геометрических фигур и углов между ними
- •5.4. Задачи на построение в плоскости общего положения геометрических фигур по заданным размерам
- •Глава 6
- •6.1. Общие положения
- •6.2. Примеры решения комплексных задач
- •Глава 7
- •7.1. Построение разверток многогранников
- •7.2. Построение разверток кривых развертывающихся поверхностей
- •7.3. Построение условных разверток неразвертывающихся поверхностей
- •Глава 8
4.2.5. Особые случаи пересечения поверхностей второго порядка
Линия пересечения двух поверхностей второго порядка в общем случае представляет собой алгебраическую кривую четвертого порядка. В частных случаях она может распадаться на линии низших порядков, сумма порядков которых равна четырем: а) на четыре прямые - 1 + 1 + 1 + 1 (рис. 4.56, a). Общие образующие m, m', n, n', по которым пересекаются два цилиндра с параллельными осями, являются частями распавшейся кривой;
Рис. 4.56
б) на две прямые и кривую второго порядка - 1 + 1 +2 (рис. 4.56, б); в) на прямую и кривую третьего порядка - 1 + 3; г) на две кривые второго порядка - 2+2 (рис. 4.57, 4.58, 4.59). Признаки распадения кривой четвертого порядка на две кривые второго порядка сформулированы в следующих теоремах: Теорема 1 . Если две поверхности второго порядка пересекаются по одной плоской кривой (1 - 5 - 2 - 6 на рис. 4.57), то они пересекаются еще по одной кривой, которая тоже будет плоской (3 - 5 - 4 - 6 на рис. 4.57).
Рис. 4.57
Примечание. Плоская кривая, принадлежащая поверхности второго порядка, является кривой второго порядка. Теорема 2. Если две поверхности второго порядка имеют касание в двух точках (1 и 2 на рис. 4.58), то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки касания. Сфера, имеющая двойное касание с поверхностью второго порядка (рис. 4.59), может быть использована для нахождения круговых сечений тех поверхностей второго порядка, которые их имеют. Рис. 4.58 Рис. 4.59
Пусть требуется найти круговые сечения эллиптического цилиндра (рис. 4.59). Проведем сферу с центром на оси цилиндра и диаметром, равным длине отрезка /1 - 2/ - большой оси эллипса. Эта сфера будет касаться двух образующих цилиндра в точках 1 и 2. Линия пересечения со сферой распадается на две окружности, расположенные в профильно проецирующих плоскостях и '. Полученные окружности определяют два семейства круговых сечений эллиптического цилиндра. Рис. 4.60
Теорема 3 (теорема Монжа).Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в не<(рис. 4.60), то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания (прямая 5 - 6 ). Теорема Монжа является частным случаем теоремы 2. Построение проекций указанных выше кривых второго порядка (рис. 4.58, 4.58, 4.59, 4.60) ясно из чертежей.
Рис. 4.61(анимация) Рис. 4.62(анимация)
Заканчивая рассмотрение второй позиционной задачи на пересечение поверхностей, приведем несколько динамических сцен, демонстрирующих процесс взаимного пересечения поверхностей. На рис.4.61 показано пересечение поверхностей сферы и эллиптическогo цилиндра. На рис. 4.62 сфера пересекается с пирамидой, а на рис. 4.63 показано пересечение двух кривых поверхностей. Рис. 4.63 (анимация)
Глава 5
МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
5.1. Общие положения 5.2. Задачи на определение расстояний между геометрическими фигурами 5.3. Задачи на определение действительных величин плоских геометрических фигур и углов между ними 5.4. Задачи на построение в плоскости общего положения геометрических фигур по заданным размерам