Научное доказательство

В широком смысле под доказательством покимается процесс уста­новления объективной истины посредством практических и теоретичес­ких действий ¹. В узком смысле доказательство предпопагает установ­ление объективной истины посредством теоретических действий (и средств).

Более приемлемым представляется понимание доказательства, приведенное в Философском энциклопедическом словаре: "Доказатель­ство в широком смысле – это любая процедура установления истинно­сти какого-либо суждения (называемого тезисом, или заключением данного доказательства) как при помощи некоторых логических рас­суждений, так и посредством чувственного восприятия некоторых физических предметов и явлений" ² . Именно такой характер имеют доказательства, обоснования большей части утверждений гуманитарных наук, а в еще более отчетливой форме эмпирические доказательства в естественных науках - доказательства, основанные на данных экс­периментов или наблюдений. Хотя все такие доказательства включают в качестве составных частей дедуктивные фрагменты - умозаключения, связывающие ссылки на опыт с доказываемым тезисом, их можно счи­тать индуктивными, так как здесь имеет место переход от частных посылок к общим заключениям (индукция), совершаемый (в неявной форме) по правилам индуктивной логики.

Доказательства в узком смысле слова, характерные для логики, математики, и построенные по их образцу и на их основе доказате­льства теоретической физики представляют собой цепочки правиль­ных умозаключений, ведущих от истинных посылок (исходных для дан­ного доказательства суждений) к доказываемым (заключительным) те­зисам. Истинность посылок при этом не обосновывается в самом доказательстве, а каким-либо образом устанавливается зapaнee.

При доказательстве возможно различное соотношение между тем, что доказывается (тезис, теорема), и аргументами - тем, с помощъю чего идет доказательство. Иногда первоначально формули­руются теоремы (например, теорема Ферма, теорема Гольдбаха и т.п.), а аргументы или условия должны быть найдены и должна быть уста­новлена связь между теоремой и аргументами.

Возможен и иной случай, когда аргументы имеются, а тезис еще не сформулирован, не выведен из аргументов. Таковы задачи на решение. Возможен случай, когда даны и тезис и аргументы, но са­мого решения нет, т.е. не установлены логические связи между ар­гументом и тезисом.

Еще более трудный случай, когда тезис, аргументы и связь между ними формулируются по мере становления самого процесса познания, что имеет место, например, в "Капитале" К.Маркса ³.

Подчеркнём, что доказательство даже в математике требует широкого использования интуиции, догадки, мысленного эксперимента. Д.Пойа писал: "...математика в процессе создания напомина­ет любые другие человеческие знания, находящиеся в процессе со­здания. Вы должны догадаться о математической теореме, прежде чем докажете, вы должны догадаться об идее доказательства, пре­жде чем проведете его в деталях, вы должны сопоставить наблюде­ния и следовать аналогиям" ⁴.

^1. См.; Философская энциклопедия. М., I962. Т. 2. С. 42.

^2. Философский энциклопедический словарь. М., I983. С. I73.

^3. Связь тезиса и аргументов изложена по книге: Логические методы и формы научного познания. Киев, 1984. С. 159-160.

^4. Пойа Д. Математическое открытие. М., 1970. С. 16.

Наличие содержательных моментов в математическом доказате­льстве подчеркивает тахже И.Лакатос. Он считает, что логические позитивисты односторонне понимают доказательство, сводя его к формальным системам и синтаксису математического языка; они не­правы, с точки зрения Лакатоса, также в том, что отделили исто­рию математики от философии математики. Лакатос пишет: "Наша скромная цель состоит в установлении положения, что неформаль­ная квазиэмпирическая математика не развивается как монотонное возрастание количества несомненно доказанных теорем, но только через непрерывное улучшение догадок, при помощи размышления и критики, при помощи логики доказательств и опровержений" ¹.

Свою концепцию Лакатос развивает на примере доказательства положения Эйлера: "Для всех правильных многогранников справедли­ва формула V- Е+ F = 2, где V- число вершин, Е- число ребер, F - число граней многогранника. Эта формула получена Эйлером в результате анализа многих видов правильных многогранников. Было высказано предположение о том, что она приложима к любому многограннику. Эта догадка подверглась всестороннему анализу видными математиками XIX веха. Фазы доказательства и опровержения тако­го предположения Лакатос и излагает в своей книге. Прежде всего, он отмечает, что процесс доказывания - это единство доказате­льства и опровержения тезиса. Причём тезис, как правило, высту­пает не в окончательной своей формулировке, а в виде догадки. Догадки делятся на вспомогательные и основные. Они, в свою очередь, подвергаются испытанию через локальные и глобальные контр­примеры. Локальный контрпример может опровергнуть вспомогатель­ную, но не основную догадку. Он касается как бы самого доказы­вания, аргументов и их логической связи с тезисом. Глобальный контрпример, напротив, опровергает основную, но не вспомогатель­ную догадку. Он, как правило, не касается самого процесса доказывания.

Однако глобальный контрпример может выступать "в качестве монстра" ("патологического случая"), как, скажем, пример таких многогранников, которые не охватываются понятиями, используемы­ми в данном доказательстве. Тогда возникает необходимость дать новое определение понятию "многогранник" и в связи с этим уточ­нить смысл ряда прежних терминов.

Доказательство сформулированного тезиса может пройти по ли­нии исключения всех "монстров". Так поступили видные математики XIX века Коши и Абель. В результате они пришли к выводу, что "все многогранники являются эйлеровыми" и описываются предложен­ной им формулой ². Оказалось, что такой метод исключения лишь со­вершенствует основную догадку (тезис), но не приводит к строгому ее доказательству.

^1. Лакатос И. Доказательства и опровержения. М., 1967. С. 10.

^2. Лакатос И. Указ. соч. С.53.

Анализ доказательства не исчерпывается теми аспектами, кото­рые отмечает Лакатос. Так, Д.Пойа останавливается на новых аспек­тах данной проблемы. Он считает, что многие доказательства, осо­бенно при решении задач, должны начинаться с составления самого плана решения для процесса доказывания. Идя от цели А, которую нужно достичь, надо наметить ближайшее звено В, с помощью кото­рого можно достичь цели А; затем поставить вопрос, как можно до­стичь В, например, тем, что В можно вывести из С, а С из Е, кото­рое уже не требует обоснования. Метод продвижения от А к Е Пойа называет планом в обратном направлении или методом продвижения от конца к началу. 3атем нужно осуществить мысленное движение от Е к А, для чего тоже нужно составить план, который должен харак­теризовать движение мысли в прямом направлении, от начала к кон­цу ¹.

Составление плана решения задачи в обратном и прямом направ­лениях сопровождается переформулировкой задачи, теоремы или уп­рощением того или другого, нахождением вспомогательной задачи, введением некоторых деталей в условие задачи, выявлением в ней неявного эксперимента, использованием подходящих чертежей, обозна­чениями, которые могут прояснить логическую суть дела и сблизить аргументы с тезисом.

Д.Пойа считает, что доказательство - это не только строго составленная и расписанная схема. Онa включает в себя творчес­кий момент. Поэтому "нужно всеми средствами обучить искусству доказывать, не забывая при этом также об искусстве догадывать­ся" ².

Теории доказывания Д.Пойа и И.Лакатоса дополняют друг друга, хотя Пойа считает, что доказательство - это одна линия, а опровержение - другая; для Лакатоса же важно, что доказательст­во и опровержение - это единое целое, одно развивается посредст­вом другого.

Включение ЭВМ в процедуру математического доказательства в качестве элемента последнего приводит, по мнению ряда математи­ков и логиков, к изменению нормативов этой процедуры. Толчком к обсуждению этого вопроса послужило сообщение о решении проблемы, известной как теорема о четырех красках (ТЧК), осуществленном К.Аппелем и В.Хакеном с помощью ЭВМ. Многие математики исходят из того, что доказательство должно обладать такими характеристи­ками, как убедительность, обозримость и формальность. Убедительность доказательства - это свидетельство понимания математики как человеческой деятельности. Обозримость - свидетельство воз­можности для человека проверить (обозреть) его во всей полноте. Традиционно источником убедительности доказательства считается ясность, т.е. возможность проверить его квалифицированными мате­матиками без использования ЭВМ, хотя некоторые доказательства мо­гут быть весьма длинными и потребовать много сил и времени. Формальность доказательства означает представимость последнего в ви­де конечной последовательности формальной теории, удовлетворяющей некоторым условиям, т.е. это вывод заключения из аксиом теории, с помощью правил логики. Формальность доказательства конкретизи­рует обозримость, разбивая ее на конечные обозримые модели.

^1. Пойа Д. Указ. соч. Гл. 8. ^2. Пойа Д. Указ. соч. С. 288.

Ука­занная теорема принадлежит к таким математическим утверждениям, проверка которых требует объема вычислений и затрат времени, пре­вышающих возможности не только отдельного человека, но и целого коллектива людей. Это и дало основание считать доказательство ТЧК необозримым.

Испольsование ЭВМ в процессе доказательства приводит к то­му, что происходит расширение средств доказательства: к чисто чвеловеческому фактору добавляется машинный фактор, привносящий в толкование математической истины опредёленную долю вероятности, зависящую от уровня развития ЭВМ и степени контроля их работы. И хотя мы (в пределах возможностей используемых для проверки средств) будем доверять полученным с помощью ЭВМ данным, следует иметь в виду, что не любые акты мышления можно доверять машинам. Если мы обращаемся к методологии мышления, то выхдим в широкую социокультурную сферу, где нет места строгим формализациям и где большую эвристическую ценность имеют отдалённые сопоставления. Такими возможностями современные ЭВМ не обладают ¹.

Обоснование знания. "Обоснование - мыслительная процедура, основанная на использовании определенных знаний, норм и устано­вок для принятия каких-либо утверждений, оценок или решений о практических действиях" ². Обоснование - необходимый элемент на­учного мышления, отличающий его от различных форм донаучного и вненаучного знания. Вере, традиции, авторитету наука противпоставляет свободное обсуждение различных познавательных альтернатив и обоснование принятия решений. В современной логике и методоло­гии науки разработка критериев и норм обоснования научного знания органически сочетается с исследованием процессов формирования и развития теоретических систем.

И.Лакатос писал, что "в течение веков знание означало дока­занное знание – доказанное либо силой интеллекта, либо свидетель­ствами органов чувств. Сочетание мудрости и разума требовало от­каза от необоснованных высказываний и уменьшения, хотя бы в мыс­лях, разрыва между размышлениями и утвердившимися знаниями" ³.

Возникают вопросы: что означает обоснованность знания, что в знании должно быть обосновано, что нужно установить в ходе обоснования, все ли фрагменты знания (понятия, суждения, умозак­лючения, модели, гипотезы, теории и т.д.) требуют обоснования или только некоторые из них?

^1. См.: Кочергин А.Н. Машинное доказательство теорем как нетради­ционная исследовательская программа в математике // Исследова­тельские программы в современной науке. Новосибирск, 1987.

^2. Философский энциклопедический словарь. С. 446.

^3. Цит. по: Алексеев И.С., Овчинников Н.Ф., Печенкин А.А. Методо­логия обоснования квантовой теории. М., I984. С. 5.

Вероятно, обоснованность - это синоним рациональности в са­мом широком смысле слова, синоним внеличной логической убедите­льности, не обязательно направленной на доказательство истиннос­ти знания. Е.П..Никитин считает, что в роли объектов обоснования выступают объекты теоретического мира науки. Однако, по мнению И.С.Алексеева, Е.П.Никитин трактует процедуру обоснования слиш­ком расширительно, считая, что такие познавательные процедуры, как интерпретация, подтверждение, определение, предсказание, объяснение, доказательство являются разновидностями обоснования, и в итоге обоснование становится синонимом теоретического мышления вообще. Анализ реальных ситуаций в науке, когда учеными стави­лась и решалась проблема обоснования (в геометрии, статистичес­кой физике), показал, что в методологии математики сложилась и получила глубокую разработку аксиоматическая концепция обоснова­ния, которая, однако, оказывется чрезмерно узкой перед лицом потребностей такой эмпирической науки, как физика, - в первую очередь потому, что она не может учесть "интуитивных" модельных способов рассуждения. Подход же Е.П.Никиина - слишком широкий. Исходя из этого, И.С.Алексеев развивает такое методологическое понимание обоснования, которое было бы более широким, чем аксио­матическое (и вообще дедуктивное) и более узким, чем универсалъ­ная концепция, и соответствовало бы реальной практике обоснова­ния в физике, показывая, в частности, что обоснование можно пони­мать как согласование элементов системы знания ¹.

Обоснования - это те базисные элементы, с которыми должны согласовываться остальные элементы знания. Для физической теории такими элементами являются объекты разного рода: наблюдаемые, ма­тематические и ненаблюдаемые.

^1. См.: Алексеев И.С., Овчинников Н.Ф., Печёнкин А.А. Указ. соч. С.28, 325-332.