46

ВОЛОДИНА Л. А., доцент кафедры физики РГУ им.Губкина «Электромагнетизм и волны» (конспект, прод.6)

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

Сила Лоренца.

Неподвижные в некоторой системе отсчета К электрические заряды взаимодействуют между собой с кулоновской (электростатической) силой. Если эти заряды рассматривать, находясь в другой системе отсчета К, движущейся относительно системы К с постоянной скоростью v, и использовать формулы релятивистской механики, то выражение для силы взаимодействия зарядов оказывается другим.¹ Появляется дополнительная сила, зависящая от скорости. Эту дополнительную силу называют магнитной силой. Кулоновская сила зависит от расстояния между зарядами, магнитная сила зависит от скорости движения зарядов. Полную силу взаимодействия зарядов называют силой Лоренца или электромагнитной силой.

сила Лоренца (электромагнитная сила); Е- напряженность электрического поля, В – индукция магнитного поля.

Это выражение для силы Лоренца следует из теории относительности – из инвариантности релятивистского уравнения движения ². Можно сказать, что это выражение является релятивистским обобщением закона Кулона. Второе слагаемое F_магн можно назвать также релятивистской добавкой к кулоновской силе. Из теории относительности следует, что отношение F_магн /F_эл = v²/c² ,

где v – скорость движения заряда, с – скорость света в вакууме, т.е. магнитная часть силы Лоренца F_магн  F_эл .Для отдельного заряда эти силы становятся сравнимы при очень больших скоростях. Однако, и при малых скоростях магнитная сила оказывается заметной. Например, когда по проводнику течет ток, электрическое поле движущихся отрицательных зарядов нейтрализуется полем положительных зарядов. В результате остается одна магнитная сила, именно она проявляется при взаимодействии проводников с током (сила Ампера).

Магнитное поле. Вектор магнитной индукции.

Вокруг неподвижного электрического заряда существует электростатическое поле, которое характеризуют вектором напряженности Е, посредством этого поля осуществляется взаимодействие данного заряда с другими неподвижными зарядами, находящимися в этом поле. Если электрический заряд движется, вокруг него, а также вокруг проводника с током (ток – это движущиеся направленно заряды) возникает поле, которое называют магнитным полем и характеризуют вектором В  вектором магнитной индукции. Это поле действует на другие движущиеся заряды и проводники с током с силой, которую называют магнитной силой.

Физический смысл вектора В можно определить из выражений для магнитных сил.

()	магнитная составляющая силы Лоренца  действует на заряд, движущийся в магнитном поле; направлена всегда  плоскости, в которой лежат v и В.
()	сила Ампера  действует на проводник dl с током I в магнитном поле; всегда направлена  плоскости, в которой лежат dl и В

Из формулы (): B= F_max/(qv)  магнитная индукция численно равна максимальной силе, действующей на единичный положительный заряд, движущийся в магнитном поле с единичной скоростью ((sin)_max=1). Из формулы (): B=F_max/Il  магнитная индукция численно равна максимальной силе, действующей в магнитном поле на проводник единичной длины, по которому течет единичный ток. Таким образом, вектор магнитной индукции – это силовая характеристика магнитного поля.

Магнитное поле характеризуют также с помощью вспомогательного вектора  вектора напряженности магнитного поля Н:

	вектор напряженности магнитного поля ^3
0 = 410^^7 Н/А^2 – магнитная постоянная  (безразмерная величина) – магнитная проницаемость вещества,  = 1 – вакуум,   1 – воздух, газы  1- ферромагнетики,   1- парамагнетики,   1 – диамагнетики (см. дальше)

Графически магнитное поле изображают с помощью линии магнитной индукции – это линия, в каждой точке которой вектор магнитной индукции совпадает с направлением касательной. Линии магнитной индукции не следует называть силовыми линиями, т.к. магнитная сила направлена в каждой точке линии не по касательной, как в случае электростатического поля, а перпендикулярно ей. Линии магнитной индукции  это непрерывные замкнутые кривые, они не имеют ни начала, ни конца, не могут пересекаться. На рис. показаны линии индукции поля прямого тока и поля катушки с током.

Закон Био – Савара – Лапласа.

Установление основных законов электромагнетизма произошло в очень короткий срок с 1820 г по 1824 г. Французские ученые Био и Савар экспериментально изучали действие различных токов на магнитные стрелки. Впоследствии французскому математику Лапласу удалось обобщить их результаты и получить выражение, которое впоследствии получило название закон Био – Савара – Лапласа (закон БСЛ). Кроме того, Лаплас установил принцип независимого сложения магнитных полей – принцип суперпозиции магнитных полей:

	при дискретном распределении проводников с током	Принцип суперпозиции для магнитных полей: «Если магнитное поле создается несколькими токами, то магнитная индукция результирующего поля равна векторной сумме индукций полей отдельных токов»
	при непрерывном распределении тока в проводнике

Смысл принципа суперпозиции в том, что, как и в случае электростатических полей, магнитные поля складываются независимо, т.е. не влияя друг на друга.

Закон Био-Савара-Лапласа в векторной и скалярной формах; dB – магнитная индукция, создаваемая бесконечно малым элементом проводника dl, по которому течет ток I, в точке с радиус-вектором r.

Пользуясь законом БСЛ и принципом суперпозиции можно найти выражения для индукции магнитных полей различных проводников с током. Это сложная математическая задача. Мы рассмотрим магнитное поле прямого проводника с током и поле на оси кольца с током. При этом мы будем пренебрегать магнитным полем, которое создают подводящие ток провода. При выводе формул сначала надо записать закон БСЛ для магнитной индукции поля, создаваемого бесконечно малым элементом с током, а затем использовать принцип суперпозиции в интегральной форме.

1)Магнитное поле прямого проводника конечной длины.

Выберем произвольную точку на расстоянии r₀ от проводника (см. рис.) и бесконечно малый элемент проводника dl с током I, находящийся на расстоянии r от нее. Вектор магнитной индукции поля от этого элемента dB направлен перпендикулярно чертежу (на нас). Векторы магнитной индукции от остальных элементов проводника направлены также, поэтому интегрирование будет производиться в скалярной форме.

- - - - - - - - - - - выдано 10.03.05

	dB – магнитная индукция от элемента dl с током I
	индукция от всего проводника по принципу суперпозиции ; чтобы проинтегрировать, надо свести к одной переменной, пока их две – r и l
	длина дуги АС при малых углах, она же из треугольника (А, С, dl); теперь появилась третья переменная ; сведем к переменной .
		магнитная индукция поля прямого тока конечной длины

(Магнитное поле тока в подводящих проводах не учитываем).

2)Магнитное поле прямого бесконечно длинного проводника.

В случае бесконечно длинного проводника ₁  0, ₂  180^о (cos180^o = 1), получим:

магнитная индукция поля бесконечного прямого проводника

3)Магнитное поле на оси кругового тока.

На рисунке показаны линии магнитной индукции поля кругового тока (половина поля). Это сложное трехмерное поле, аналитической формулы для которого не существует. Мы получим выражение для магнитной индукции только на оси кольца.

Выделим на кольце с током два элемента dl₁ и dl₂ , расположенных диаметрально противоположно (см. рис. ниже). Магнитные индукции от этих элементов dB₁ и dB₂ . Если разложить эти векторы на составляющие вдоль оси х и в перпендикулярном к ней направлении, то перпендикулярные составляющие взаимно компенсируются, а составляющие по оси х будут складываться. К этому же мы придем, рассматривая подобные элементы по всему кольцу. Таким образом, магнитная индукция на оси кольца направлена вдоль оси кольца (по правилу буравчика).

	магнитная индукция от элементов dl1 и dl2
	составляющая магнитной индукции по оси х
	угол  для данной точки на расстоянии х по оси кольца постоянная величина

4) Магнитное поле в центре кругового тока

Это частный случай предыдущего примера, когда х = 0

Магнитная индукция в центре кругового тока

Магнитный момент контура с током.

Контур с током (виток с током) при изучении магнитных свойств вещества имеет такое же значение, как диполь при изучении электрических свойств вещества. Рассматривая поведение витка с током во внешнем магнитном поле, можно качественно объяснить намагниченность различных веществ. Контур с током характеризуют векторной величиной р_магн  магнитным моментом.

магнитный момент контура с током I - сила тока в контуре, S – площадь, охватываемая контуром, n- нормаль к площади контура

Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции.

Так же, как теорема Гаусса в электростатике облегчает вычисление напряженности электростатического поля в некоторых случаях, также теорема о циркуляции ⁴вектора магнитной индукции дает возможность легко получить формулы для магнитной индукции в некоторых простейших случаях.

	= ()	Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции: «Циркуляция вектора индукции магнитного поля по любому замкнутому контуру L равна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром, умноженной на o».
	= ()

Выражение () применяется в случаях дискретного распределения проводников с токами, т.е. когда имеются отдельные проводники с токами и требуется найти индукцию В поля вне проводников. Выражение () используется в случаях, когда требуется найти индукцию В магнитного поля внутри проводника с током, т.е. при непрерывном распределении тока по проводнику.

Рассмотрим некоторые примеры применения теоремы о циркуляции В.