2. Расчетные формулы

   1. Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов

При анализе эмпирических данных, полученных в результате измерений в ходе наблюдения или эксперимента, следует отыскать функциональную зависимость между величинами, которые получены в результате данных измерений. Как правило, эмпирические данные записываются в виде таблиц, в которых Xi (независимая величина – эмпирическое значение) задается экспериментатором, а Yi (зависимая величина – опытное значение) получается в результате опыта.

Между полученными величинами может существовать зависимость, и с целью отыскать ее, следует подобрать эмпирическую формулу вида _{чтобы значения ее при X=Xi как можно меньше отличались от опытных значений , ( - параметры функции).}

Если в эмпирическую формулу подставить исходные Xi, то получим теоретические значения , где . Разности называются отклонениями и представляют собой расстояния по вертикали от точек до графика эмпирической функции.

Согласно методу наименьших квадратов наилучшими коэффициентами считаются те, для которых сумма квадратов отклонений найденной эмпирической функции от заданных значений функции будет минимальным.

Построение графика, соответствующего эмпирической формуле, состоит из следующих этапов: выяснение общего вида этой формулы, определение ее наилучших параметров, выполнение построения.

Если неизвестен характер зависимости между данными величинами Х и У , то вид эмпирической зависимости является произвольным. Предпочтение отдается простым формулам, обладающим хорошей точностью. По положению точек на графике можно сделать предположения относительно общего вида зависимости между величинами, путем установления сходства между построенным графиком и образцами известных графиков функций (линейной, степенной, экспоненты и др.).

Для нахождения коэффициентов , используем необходимое условие экстремума функции нескольких переменных - равенство нулю частных производных. В результате получим нормальную систему для определения коэффициентов :

Таким образом, нахождение коэффициентов сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений. Эта система упрощается, если эмпирическая формула линейна относительно параметров , тогда система будет линейной. Конкретный вид системы зависит от того, из какого класса эмпирических формул мы ищем зависимость. В случае линейной зависимости система принимает вид:

Эта линейная система может быть решена любым известным методом (методом Гаусса, методом с использованием обратной матрицы системы, по формулам Крамера).

В случае квадратичной зависимости система принимает вид:

Если же зависимость величин экспоненциальная и y = а₁ Exp(a₂X) система имеет вид:

2. Линеаризация экспоненциальной зависимости

Иногда в качестве эмпирической формулы используют функцию, в которую неопределенные коэффициенты входят нелинейно. При этом в ряде случаев задачу удается линеаризовать, т.е. свести к линейной. К числу таких зависимостей относится экспоненциальная зависимость

где и неопределенные коэффициенты.

Линеаризация достигается путем логарифмирования данного равенства, после чего получается соотношение Если обозначить и соответственно через и , тогда зависимость преобразуется в вид: , что значительно упростит запись.