3. Классический способ нахождения вероятности
Пусть мы имеем полную группу равновозможных, несовместных, случайных событий.
Определение.
Событие
(из такой группы)
называется
благоприятствующим
появлению события
,
если появление этого события (из такой
группы)
влечёт
за собой появление события
.
________________________
Пример.
В примере № 1 событие
,
выпало чётное число при бросании один
раз игральной кости, имеет в качестве
благоприятствующих событий, следующие
события:
.
________________________
Классический способ нахождения вероятности
Вероятность
события
равна отношению числа
благоприятствующих случайных событий
к числу всех возможных случайных событий
,
образующих полную группу равновозможных
несовместных событий:
.
Исходя из приведённого правила, можно опять установить, что для событий, имеющих полную группу равновозможных несовместных событий, имеет место два свойства вероятности:
,
.
Теперь можно вернуться к примеру № 1 и преложить окончательное его решение.
________________________
Пример.
В примере № 1 полную группу равновозможных
несовместных событий составляют события
,
т.к.:
образуют полную
группу (об этом мы уже говорили),
понятно, что все эти события равновероятны (если кость сделана без изъянов),
понятно, что все
эти события несовместны (если кость при
бросании не упадёт на ребро). Поэтому
.
Тогда событие
,
состоящее в том, что бросили игральную
кость и выпала «
»,
имеет вероятность:
,
т.к. благоприятствующим
событием является лишь событие
,
т.е.
.
Событие
,
состоящее в том, что бросили игральную
кость, а выпало чётное число, имеет
вероятность:
,
т.к. благоприятствующими
событиями являются события
,
т.е.
.
Событие
,
состоящее в том, что бросили игральную
кость, а выпало нечётное число, имеет
вероятность:
,
о чём мы уже говорили.
Событие
,
состоящее в том, что бросили игральную
кость, а выпало число, меньшее
«
»,
имеет вероятность:
,
т.к. благоприятствующими
событиями являются события
,
т.е.
.
4. Графическая интерпретация событий
Пусть в опыте мы
имеем полную группу равновозможных,
случайных
событий
.
Если, при этом, события
являются элементарными, то такую группу
событий называют пространством
элементарных событий.
Любое сложное событие
в опыте всегда связано с рядом элементарных
событий из
,
которые являются благоприятствующими
для его наступления
.
Тогда элементарное событие может быть
изображено графически точкой в
пространстве
,
а сложное событие множеством
в пространстве
[1-4]. Такое изображение событий
представляется диаграммой Эйлера-Вена
на рис.1.1.
Рис.1.1. Диаграмма Эйлера-Вена для интерпретации событий в пространстве элементарных событий и операций над событиями.
Такая интерпретация события, как множества в пространстве событий, позволяет легко и наглядно изображать события, операции над событиями как операции над множествами, понять соотношения алгебры событий:
.
Если под массой
(модулем) события
понимать число, характеризующее
количество благоприятствующих
элементарных исходов, то классический
способ вычисления вероятности
интерпретируется как отношение массы
события к массе пространства:
Пример.
Пусть в опыте бросаются две игральные
кости. Событие
состоит в выпадении дубля, а событие
-
в выпадении
суммы очков на обеих костях не менее
10. Эти события, изображенные на рис. 1.2
оказывается равновозможные.
Действительно:
,
Рис.1.2. Изображение
событий А и В примера.
