- •Е. А. Попова с. А. Раковская элементы комбинаторики
- •© Попова е. А., Раковская с. А., 2008 оглавление
- •1. Основные понятия комбинаторики
- •1.1. «Особая примета» комбинаторных задач
- •1.2. Правила сложения и умножения
- •1.3. Размещения
- •1.4. Перестановки
- •1.5. Сочетания
- •1.6. Размещения с повторениями
- •1.7. Перестановки с повторениями
- •1.8. Сочетания с повторениями
- •2. Решение задач
- •2.1. Разные задачи
- •2.2. Профессионально-ориентированные задачи
- •10 626 «Четверок».
- •3. Использование элементов комбинаторного анализа
- •4. Задачи для самостоятельной работы
- •4.1. Разные задачи
- •4.2. Профессионально-ориентированные задачи
- •Елена Александровна Попова Светлана Анатольевна Раковская элементы комбинаторики
- •660075, Г. Красноярск, ул. Л. Прушинской, 2
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Красноярский государственный торгово-экономический институт»
Е. А. Попова с. А. Раковская элементы комбинаторики
Практикум
для студентов специальности 080105.65 «Финансы и кредит»,
080502.65 «Экономика и управление на предприятии (в торговле)»,
260501.65 «Технология продуктов общественного питания»,
080401.65 «Товароведение и экспертиза товаров», 080109.65
«Бухгалтерский учет, анализ и аудит», 080507.65 «Менеджмент
организации», 080111.65 «Маркетинг», 080301.65 «Коммерция»
(торговое дело) и направления 260100.62 «Технология продуктов
общественного питания», 080100.62 «Экономика»,
080500.62 «Менеджмент»,
всех форм обучения
Красноярск 2008
УДК 512.1(076.5)
ББК 22.141я73
П 58
Рецензент
кандидат физико-математических наук Л. А. Слонова
Попова Е. А.
П 58 Элементы комбинаторики : практикум / Е. А. Попова, С. А. Раковская; Краснояр. гос. торг.-экон. ин-т. – Красноярск, 2008. – 44 с.
Практикум содержит более ста задач (с решениями и для самостоятельной работы), в том числе профессионально ориентированные для студентов, обучающимся по специальностям 080105.65 «Финансы и кредит», 080109.65 «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», 080502.65 «Экономика и управление на предприятии (в торговле)», 080507.65 «Менеджмент организации», 080111.65 «Маркетинг», 080401.65 «Товароведение и экспертиза товаров», 080301.65 «Коммерция» (торговое дело), 260501.65 «Технология продуктов общественного питания»; направлениям 080100.62 «Экономика», 080500.62 «Менеджмент», 260100.62 «Технология продуктов общественного питания».
Предложенное учебное издание может быть полезно не только студентам, преподавателям математики, но и аспирантам, преподавателям и научным работникам, то есть всем, кто сталкивается в своей практической работе с комбинаторными задачами.
УДК 512.1(076.5)
ББК 22.141я73
© ГОУ ВПО «Красноярский государственный торгово-экономический институт», 2008
© Попова е. А., Раковская с. А., 2008 оглавление
ПРЕДИСЛОВИЕ……………………………………………………………… |
4 |
|
|
ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………… |
5 |
|
|
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КОМБИНАТОРИКИ ………………………… |
6 |
1.1. «Особая примета» комбинаторных задач………….………………... |
6 |
1.2. Правила сложения и умножения ………………………………….…. |
6 |
1.3. Размещения………………………………………………………….…. |
9 |
1.4. Перестановки……………………………………………………….….. |
11 |
1.5. Сочетания…………………………….………………………………... |
12 |
1.6. Размещения с повторениями…………………………………………. |
15 |
1.7. Перестановки с повторениями ..……………………………………... |
16 |
1.8. Сочетания с повторениями ………………………………………….. |
17 |
|
|
2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ………………………………………………….…….. |
19 |
2.1. Разные задачи…...………………………………………………….….. |
19 |
2.2. Профессионально ориентированные задачи …………………….….. |
25 |
|
|
3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ КОМБИНАТОРНОГО АНАЛИЗА ПРИ РАЗРАБОТКЕ МОЛОЧНО-БЕЛКОВЫХ ДЕСЕРТОВ……………. |
28 |
|
|
4. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ …………….……. |
30 |
4.1. Разные задачи…...……………………………………………………….. |
30 |
4.2. Профессионально ориентированные задачи…………………………... |
34 |
|
|
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК…..…………………………………… |
38 |
|
|
ПРИЛОЖЕНИЯ…………………………………………………………….… |
40 |
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данный практикум посвящен изучению темы «Комбинаторика» курса «Теория вероятностей», рекомендуется для очного, заочного, дистанционного образования, а также лицам, получающим второе высшее образование. Предлагаемое учебное издание может быть использовано при традиционной форме проведения практических занятий, а также для самостоятельного изучения данной темы.
Идея данного издания возникла в результате общения авторов с инженерами-технологами, экономистами, менеджерами и специалистами в других областях, которые стремятся использовать аппарат комбинаторного анализа для решения специфических задач.
В данном издании сделана попытка, не углубляясь в дебри математических выкладок, однако сохраняя логическую строгость, ввести читателей в курс основных понятий комбинаторного анализа.
Практикум состоит из четырех разделов:
– основные понятия комбинаторики;
– решение задач;
– использование элементов комбинаторного анализа при разработке молочно-белковых десертов;
– задачи для самостоятельного решения.
В практикуме представлено большое количество примеров с решениями, в том числе профессионально ориентированные, а также задачи для самостоятельного решения.
Для удобства принята двойная нумерация параграфов (сквозная нумерация внутри раздела), а нумерация формул, примеров и рисунков тройная (сквозная нумерация внутри параграфа). В номерах формул первое число соответствует номеру раздела, второе номеру параграфа.
Для дальнейшего ознакомления с комбинаторным анализом заинтересованному читателю рекомендуются книги, включенному в библиографический список.
Цель практикума состоит в освещении возможностей практического применения методов комбинаторного анализа, освоении методики решения типовых и профессионально ориентированных задач.
ВВЕДЕНИЕ
В комбинаторике часто случается, что задача, на первый взгляд кажущаяся пустой головоломкой, получает в дальнейшем применение в самых различных областях практической деятельности.
Н. Я. Виленкин
Иногда приходится иметь дело с задачами, в которых нужно подсчитать число всех возможных способов расположения некоторых предметов или осуществления некоторого действия. Разные пути или варианты, которые приходится выбирать, складываются в самые разнообразные комбинации. Раздел математики, называемый комбинаторикой, занят поиском ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или другом случае. Термин «комбинаторика» был введен в математический обиход Готфридом Вильгельмом Лейбницем. Возникновение основных понятий и развитие комбинаторного анализа шло параллельно с развитием других разделов математики.
Комбинаторика (от позднелат. сombinо – соединение), то же, что комбинаторный анализ – раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения частей некоторого (обычно конечного) множества в соответствии с заданными правилами.
Комбинаторный анализ является разделом дискретной математики, истоки его уходят в глубокую древность. В настоящее время интерес к нему значительно усилился. Благодаря этому комбинаторный анализ сегодня превратился в достаточно развитую ветвь математики, которая непрерывно разрастается. Это делает трудным четко очертить круг объектов и их свойств, которые принадлежат комбинаторике. Ввиду этого мы начинаем с описания простейших (элементарных) комбинаторных объектов.
Идеи комбинаторного характера получили широкое распространение в некоторых разделах математики: теории вероятностей, теории чисел, алгебре и др.
Результаты комбинаторного анализа могут быть использованы при планировании и анализе научных экспериментов, кодировании сообщений, в линейном и динамическом программировании, в математической экономике и многих других областях науки и техники.