Основы квантовой (волновой) механики

Квантовая механика – теория, устанавливающая способ описания и законы движения микрочастиц в заданных внешних полях. Создана в 1924-1926 гг. (Луи де Бройль, Э. Шредингер, В. Гейзенберг и П. Дирак). Важнейшую роль в ее подготовке и развитии имели исследования М. Планка, А. Эйнштейна, Н. Бора, М. Борна и других ученых.

Квантовая (движение микрообъектов) и классическая механика (движение макрообъектов) используют общие принципы: законы сохранения энергии, массы, заряда и импульса. В отличие от классической, квантовая механика основывается на представлении о квантовании энергии, волновом характере движения микрочастиц и вероятностном (статистическом) методе описания микрообъектов.

Корпускулярно-волновые свойства микрочастиц. Явление фотоэффекта (А.Г. Столетов, 1889 г.), заключающееся в выбивании электронов с поверхности металлов, показало, что свет является потоком частиц-фотонов (корпускулярное свойство). С другой стороны, интерференция света (наложение световых волн) и дифракция (рассеяние световых лучей, проходящих через дифракционную решетку) свидетельствуют о волновых свойствах света.

В 1924 г. Луи де Бройль предложил распространить корпускулярно-волновые представления на все микрочастицы, т.е. движение любой микрочастицы рассматривать как волновой процесс:

 = (соотношение де Бройля),

где m – масса движущейся частицы; V– скорость ее движения;  – длина волны; р – импульс.

В 1927 г. наличие волновых свойств у электронов было подтверждено исследованием дифракции и интерференции электронов (американские ученые К. Девиссон и Л. Джермер). При прохождении пучка электронов через кристалл на фотопластинке фиксировались дифракционные кольца, полосы. С движением электрона ассоциируется волна длиной  10^–10 м, т.е. длина ее соизмерима с размерами атомов. Поэтому кристаллы выполняют роль дифракционной решетки.

При движении макрочастиц, наоборот, ассоциируется волна очень малой длины ( 10^–29 м и меньше), поэтому волновой процесс экспериментально обнаружить невозможно.

Принцип неопределенности Гейзенборга (1927 г.). Кажущуюся двойственную природу микрочастиц объясняет принцип неопределенности: невозможно одновременно определить и скорость (или импульс р = mV) и положение микрочастицы (ее координаты). Математическое выражение принципа неопределенности имеет вид

р_x x = h/2,

где р_x = m V_x – неопределенность (ошибка в определении) импульса микрообъекта по координате x; x – неопределенность (ошибка в определении) положения микрообъекта по этой координате.

Чем меньше значение x, т. е. чем точнее мы определяем положение микрообъекта, например, электрона, тем больше неопределенность в определении значения его импульса или энергии. Если микрообъект будет иметь конкретное значение энергии, то его координаты (местонахождение) будут иметь очень большую неопределенность.

Физический смысл соотношения Гейзенберга заключается в том, что оно отражает корпускулярно-волновую двойственность микрообъектов. Из соотношения неопределенности вытекают два следствия.

Первое следствие: движение электрона в атоме – движение без траектории.

Второе следствие: электрон в атоме не может упасть на ядро.

Вероятностный характер законов микромира. В квантовой механике о местонахождении электрона судят только с вероятностной точки зрения. Электрон может находиться в любом элементе объема атома, однако вероятность его пребывания в различных элементах объема атома неодинакова. Можно только предсказать, с какой вероятностью электрон может быть обнаружен в различных частях объема атома.

Электронное облако и атомная орбиталь. В квантовой механике вместо конкретной орбиты введено понятие электронного облака. Электронное облако (рис.1.5) – область в поле ядра атома, в пределах которой распределяется электронная плотность, т.е. в пределах которой может находиться электрон с заданной энергией Е.

Граничная поверхность электронного облака – поверхность, которая охватывает до 90 % электронной поверхности.

Электронное облако и граничная поверхность называются атомной орбиталью (АО). Атомной орбиталью часто называют -функцию, определяющую данное электронное облако.

Рис. 1.5. Электронное облако и граничная поверхность

Рис. 1.6. Радиальное распределение вероятности нахождения электрона в атоме

Применяются и другие способы изображения распределения электронной плотности относительно ядра. На рис. 1.6 приведена кривая радиального распределения вероятности электронной плотности.

Кривая показывает, что электрон находится в тонком слое радиуса r толщины d_r вокруг ядра. Объем этого слоя dV = 4r²dr.

Квантовые числа. Орбиталь можно однозначно описать с помощью набора целых чисел – квантовых чисел, из которых: n –главное квантовое число, l – орбитальное квантовое число, m_l – магнитное квантовое число.

Главное квантовое число и энергетические уровни.

Таким образом, главное квантовое число n определяет основной запас энергии электрона, как указано выше, или размер электронного облака (орбитали) (рис. 1.9). Принимает значения 1, 2, 3... до .

Совокупность электронных состояний с одинаковым значением главного квантового числа n называется электронным слоем или энергетическим уровнем. Уровни обозначаются цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 или буквами K, L, M, N, O, P, Q.

Главное квантовое число n указывает еще номер периода, число подуровней в энергетическом уровне (n = 1, один подуровень – s; n = 2, два подуровня – s и р. и т.д.).

Орбитальное квантовое число и формы орбиталей, энергетические подуровни. Орбитальное квантовое число l определяет орбитальный момент количества движения электрона М = и характеризует форму электронного облака. Для данного значения n в интервале 0 ≤ l ≤ (n – 1), отвечающем значениям 0, 1, 2... (n – 1). При n = 1, l = 0; при n = 2, l = 0 и l = 1.

Рис.1.9. 1s-, 2s- и 3s-орбитали (проекция на плоскость разреза ZOX)

Подуровни имеют следующие буквенные обозначения

Орбитальное квантовое число l	0	1	2	3	4
Подуровень	s	p	d	f	g

Энергетический подуровень – совокупность электронных состояний, характеризующихся определенным набором квантовых чисел n и l; например, 4р (n = 4, l = 1), 5f (n = 5, l = 4).

Формы орбиталей, соответствующие различным значениям l и их расположение в пространстве, приведены на рис.1.10.

Рис.1.10. Формы s-, p- и d- орбиталей

Атомная орбиталь – геометрический образ одноэлектронной волновой функции , зависящий от трех квантовых чисел n, m и m_l, представляющий собой область наиболее вероятного пребывания электрона в атоме.

Согласно квантово-механическим расчетам s-орбитали имеют форму шара; р-орбитали – форму гантели; d-орбитали – более сложные формы.

Магнитное квантовое число. Пространственная ориентация орбиталей. Магнитное квантовое число m_l определяет значение проекции орбитального момента количества движения электрона М на произвольно выбранную ось z:

М_z = m_l,

т.е. характеризует пространственную ориентацию электронного облака (рис.1.11).

Магнитное квантовое число принимает значение от 0 до (n – 1) или от –l до +l. Например, при l = 0, m_l = 0 (s-орбиталь, рис. 1.10), при l = 1, m_l = –1; 0; +1 (р-орбиталь, рис. 1.10) и т. д. Для любого l будет (2l + 1) состояний m_l: l = 1; три состояния m_l (–1; 0; +1) или три орбитали – p_z, p_y, p_z.

Все орбитали одного подуровня имеют одинаковую энергию и называются вырожденными.

Спиновое квантовое число (спин электрона). Движение электрона в атоме полностью определяется тремя квантовыми числами – n, l и m_l, т. е. полностью задается характер функции  (n, l, m_l). Однако оказалось, что на состояние электрона оказывает влияние его движение вокруг собственной оси, так называемый спин электрона (рис. 1.13.).

Спиновое квантовое число m_s отражает проекцию вектора вращательного момента электрона на ось вращения. Может принимать лишь два значения: + 1/2 и – 1/2.

Рис. 1.13. Спин электрона (spin – вращаться)

Для условного обозначения АО принят символ квадрата , называемый квантовой или электронной ячейкой:

ns – AO (n = 1)

np – AO (n = 2) x y z

Электрон изображается в ячейках стрелкой  (+1/2) или  (–1/2).