5.7. Порядок выполнения работы в компьютерном классе
1. Прежде чем начать выполнение лабораторной работы на ЭВМ, внимательно ознакомьтесь с данной инструкцией.
2. При
необходимости включите сами (или
попросите лаборанта) питание компьютера.
После того, как система загрузится,
запускаем на рабочем столе программу
Mathcad, если же ярлык
отсутствует, тогда открываем программу
через кнопку «Пуск» (Программы
Mathsoft
Mathcad).
3. Узнайте
у лаборанта расположение пакета Lab
и откройте файл Lab5.mcd
(File
Open или если программа
русифицирована Файл
Открыть). При любой ошибке ввода программы
нужно обратиться к лаборанту.
4.
Прочитайте в начале файла задание на
лабораторную работу и просмотрите
пример выполнения работы, для которого
исследование уже проведено. В файле
Lab5.mcd в
разделах «Линейная зависимость» и
«Квадратичная зависимость» решаются
системы уравнений (5.7) и (5.9) соответственно
для нахождения параметров линейной и
квадратичной аппроксимирующих функций.
В разделе «Стандартные функции нахождения
полиномиальной зависимости» показан
пример нахождения коэффициентов
аппроксимирующего многочлена любого
порядка с помощью стандартной функции
системы Mathcad interp (см.
п. 6.2.). В разделе «Приближение данных
линейной комбинацией произвольных
функций» запрограммирован метод
отыскания коэффициентов этой комбинации,
как с помощью решения нормальной системы
(
),
так и с помощью стандартной функции
системы Mathcad linfit (см.
п. 6.2.). Во всех разделах автоматически
вычисляются невязки найденных
зависимостей. В разделе «Анализ
приближений данных системами функций»
с помощью функции linfit находится
аппроксимация зависимости между x
и y восемью линейными
комбинациями трех функций, анализируя
найденные невязки которых необходимо
выбрать лучшие из этих комбинаций. В
разделе «Метод Лагранжа» в качестве
дополнительного материала приводится
одноименный метод нахождения многочлена,
проходящего через все экспериментальные
точки.
5. Введите вместо задания примера данные своего эксперимента, разделяя целую и дробную части точкой (например, 0.9, 3.14 и т. д.).
6. Дальнейший порядок выполнения работы Вам укажет программа подсказками, указаниями и заданиями, выделенными красным цветом.
5.8. Пример выполнения работы
Дана
таблица значений
и
Таблица 5.3
Таблица экспериментальных значений
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
|
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
1,0 |
1,1 |
1,2 |
|
|
1,25 |
1,38 |
1,56 |
1,78 |
1,95 |
2,31 |
2,52 |
2,81 |
3,14 |
3,52 |
4,12 |
5,01 |
1. Построим на чертеже точки, соответствующие табл. 5.3.
Рис. 5.4. Экспериментальные точки
2. Будем искать зависимость в виде
Для
нахождения параметров
составим нормальную систему
Определим коэффициенты системы:
Таблица 5.4
Определение коэффициентов нормальной системы уравнений
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0,1 |
1,25 |
0,01 |
0,001 |
0,0001 |
0,125 |
0,0125 |
|
2 |
0,2 |
1,38 |
0,04 |
0,008 |
0,0016 |
0,276 |
0,0552 |
|
3 |
0,3 |
1,56 |
0,09 |
0,027 |
0,0081 |
0,468 |
0,1404 |
|
4 |
0,4 |
1,78 |
0,16 |
0,064 |
0,0256 |
0,712 |
0,2848 |
|
5 |
0,5 |
1,95 |
0,25 |
0,125 |
0,0625 |
0,975 |
0,4875 |
|
6 |
0,6 |
2,31 |
0,36 |
0,216 |
0,1296 |
1,386 |
0,8316 |
|
7 |
0,7 |
2,52 |
0,49 |
0,343 |
0,2401 |
1,764 |
1,2348 |
|
8 |
0,8 |
2,81 |
0,64 |
0,512 |
0,4096 |
2,248 |
1,7984 |
|
9 |
0,9 |
3,14 |
0,81 |
0,729 |
0,6561 |
2,826 |
2,5434 |
|
10 |
1,0 |
3,52 |
1,00 |
1,000 |
1,0000 |
3,520 |
3,5200 |
|
11 |
1,1 |
4,12 |
1,21 |
1,331 |
1,4641 |
4,532 |
4,9852 |
|
12 |
1,2 |
5,01 |
1,44 |
1,728 |
2,0736 |
6,012 |
7,2144 |
|
|
7,8 |
31,35 |
6,50 |
6,084 |
6,071 |
24,844 |
23,1082 |
Нормальная система имеет вид
Решив систему методом Гаусса (см. лабораторную работу №1), получим
следовательно, функция имеет вид
Найдем невязку
3.
Построим график функции
и экспериментальные точки:
Рис. 5.5. График полученной параболы и экспериментальные точки
4. Продолжаем выполнение работы в компьютерном классе. Запускаем программу Mathcad. Открываем файл Lab5.mcd. Вводим таблицу значений:
5.
Вычисляем коэффициенты аппроксимации
многочленами третьего и четвертого
порядков. Для этого поочередно вводим
в программу
и
.
Для
первого случая компьютер выведет вектор
коэффициентов
функции
:
и выписываем аппроксимирующий многочлен третьего порядка и его невязку
Для второго случая компьютер выведет вектор коэффициентов
и выписываем аппроксимирующий многочлен четвертого порядка и его невязку
6.
Далее проводим аппроксимацию эксперимента
линейной комбинацией четырех функций
.
В файле Lab5.mcd
запрограммировано нахождение коэффициентов
этой комбинаций, как с помощью решения
нормальной системы уравнений, так и с
использованием стандартной функции
системы Mathcad linfit
(см. п. 6.2). Для этого вводится
векторнозначная функция
.
Автоматически получаем вектор коэффициентов комбинации
и невязку
.
Следовательно, аппроксимирующий закон имеет вид
.
7. Аналогично предыдущему пункту проведем аппроксимацию эксперимента, используя для примера восемь систем трех функций:
Перемножая
скалярно соответствующие векторнозначные
функции F на вектора
коэффициентов разложения V,
найденные в программе, выписываем все
восемь законов с указанием соответствующих
невязок
:
Анализируя величины невязок, делаем вывод, что наиболее приемлемыми законами являются 7, 4 и 1-й.
На
компьютере строим графики этих функций
(вместо
,
и
примера строим свои лучшие законы).
8. В
конце файла приведен пример применения
метода Лагранжа, апроксимации
экспериментальных данных многочленом
11-го порядка. Невязка данной аппроксимации
будет равна нулю, так как через любые n
точек с абсциссами
можно точно провести многочлен (
)-го
порядка.
9. Все расчеты оформляются в виде отчета по лабораторной работе.