- •Лабораторные работы по высшей математике
- •432027, Ульяновск, ул. Северный Венец, 32
- •Оглавление
- •4.1. Постановка задачи ……………………………………………… 39
- •Инструкция по технике безопасности
- •Введение
- •Пакет программ лабораторных работ
- •1. Решение систем линейных уравнений методом гаусса
- •1.1. Постановка задачи
- •1.2. Задание на лабораторную работу
- •1.3. Порядок выполнения работы в компьютерном классе
- •1.4. Пример выполнения работы
- •1.5. Вопросы для самоконтроля
- •2. Решение нелинейных уравнений
- •2.1. Постановка задачи
- •2.2. Отделение корней уравнения. Графический метод
- •2.3. Метод половинного деления
- •2.4. Метод Ньютона
- •2.5. Метод хорд
- •2.6. Комбинированный метод
- •2.7. Задание на лабораторную работу
- •2.8. Порядок выполнения работы в компьютерном классе
- •2.9. Пример выполнения работы
- •2.9. Вопросы для самоконтроля
- •3. Вычисление определенных интегралов
- •3.1. Постановка задачи
- •3.2. Методы прямоугольников и трапеций
- •3.3. Метод Симпсона
- •3.4. Оценка погрешностей методов
- •3.5. Задание на лабораторную работу
- •3.7. Порядок выполнения работы в компьютерном классе
- •3.6. Пример выполнения работы
- •3.8. Вопросы для самоконтроля
- •4. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
- •4.1. Постановка задачи
- •4.2. Метод Эйлера
- •4.3. Метод Рунге-Кутта
- •4.4. Выбор шага интегрирования
- •4.5. Задание на лабораторную работу
- •4.6. Порядок выполнения работы в компьютерном классе
- •4.7. Пример выполнения работы
- •4.8. Вопросы для самоконтроля
- •5. Аппроксимация функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов
- •5.1. Постановка задачи
- •5.2. Выбор типа кривой
- •5.3. Метод наименьших квадратов
- •5.4. Подбор параметров линейной функции методом наименьших квадратов
- •5.5. Подбор параметров квадратичной функции методом наименьших квадратов
- •5.6. Задание на лабораторную работу
- •5.7. Порядок выполнения работы в компьютерном классе
- •5.8. Пример выполнения работы
- •5.9. Вопросы для самоконтроля
- •6. Прикладной математический пакет «mathcad»
- •6.1. О программе
- •6.2. Основные понятия и функции
- •6.3. Операторы математического анализа
- •6.4. Функции и операторы матриц
- •6.5. Создание декартовых графиков на плоскости
- •6.6. Программные блоки
- •Библиографический список
1.5. Вопросы для самоконтроля
-
Что называется решением системы линейных алгебраических уравнений?
-
Какая система линейных алгебраических уравнений совместна, какая несовместна?
-
Какая совместная система линейных алгебраических уравнений определена, какая неопределена?
-
Что называется основной и расширенной матрицей системы линейных уравнений?
-
Что такое ранг матрицы A?
-
Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.
-
Когда система линейных алгебраических уравнений определена и когда неопределена?
-
Что такое элементарные преобразования строк матрицы?
-
Опишите структуру бланка расчета в методе Гаусса.
-
Как выполняется контроль текущих вычислений при реализации метода Гаусса?
-
Для чего предназначен контрольный столбец и как он формируется?
-
Опишите алгоритм прямого хода метода Гаусса и запишите расчетные формулы прямого хода.
-
Опишите алгоритм обратного хода метода Гаусса и запишите расчетные формулы обратного хода.
-
В чем состоит смысл выбора ведущей строки в методе Гаусса?
-
Что называется невязками уравнений системы?
2. Решение нелинейных уравнений
2.1. Постановка задачи
Целью данной лабораторной работы является нахождение действительных корней уравнения
(2.1)
где – некоторая заданная функция. В некоторых частных случаях это уравнение может быть решено аналитически (например, линейное или квадратное уравнения). Однако при решении прикладных задач уравнение (2.1) обычно не может быть решено аналитически. В таких случаях используют приближенные методы решения: графический, метод половин-ного деления, метод касательных, метод хорд, комбинированный и другие.
Приближенное нахождение действительных корней уравнения (2.1) обычно складывается из двух этапов.
-
Отделение корней, т. е. отыскание для каждого корня такого отрезка [a, b], внутри которого лежит только этот корень и отсутствуют другие корни.
-
Уточнение приближенных корней, т. е. доведение их приближенных значений до заданной точности.
2.2. Отделение корней уравнения. Графический метод
Для первого этапа работы по отделению корней полезен графический метод решения уравнения (2.1). В этом случае строится график функции и находятся абсциссы точек пересечения графика с осью Ox (рис. 2.1). На рис. 2.1 и – корни уравнения (2.1).
Рис. 2.1. Графическое решение Рис. 2.2. Графическое решение
уравнения (2.1) уравнения (2.2)
Если же исходное уравнение (2.1) может быть представлено в виде
(2.2)
то строятся графики функций и , и находят уже абсциссы их точек пересечения. На рис. 2.2 и – корни уравнения (2.2).
Графический метод достаточно прост для реализации на ЭВМ, но не достаточно эффективен, так как для уточнения корня каждый раз требуется строить график (или и ) во все более крупном масштабе.
Отрезок , внутри которого находится единственный корень уравнения (2.1), будем называть начальным.
Для нахождения начального отрезка следует использовать следующие теоремы [1]–[3].
Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке и на концах отрезка принимает значения разных знаков, т. е. , то между и найдется по крайней мере одна точка , в которой .
Теорема 2. Если функция непрерывна и монотонна на отрезке и , то между и имеется только одна точка , в которой .
Пусть начальный отрезок уже найден. Рассмотрим численные методы, используемые для уточнения приближенных корней [1]–[3].