Алгоритм определения основных параметров математической модели диода

Уравнение математической модели pn – перехода, устанавливающее связь между током pn – перехода I и напряжением на его зажимах Ud (см. рис. 3), описывается следующим выражением:

. (13)

Рассмотрим определение параметров математической модели I₀ , n, r_s , ϕ_к и γ по его ВАХ и вольт-фарадной характеристики (ВФХ). График прямой ветви ВАХ pn – перехода в полулогарифмическом масштабе показан на рис. 6 сплошной линией.

При низком уровне тока падением напряжения на сопротивлении r_s можно пренебречь, а уравнение (13) можно упростить:

. (14)

Прологарифмировав правую и левую части (14), можно получить выражение

, (15)

из которого следует, что графиком функции log₁₀ (I) в полулогарифмическом

масштабе является прямая c наклоном , пересекающаяся с осью

ординат в точке log₁₀ (I0) . На рис. 6 график выражения (15) показан штриховой линией.

Таким образом, чтобы определить значения коэффициента неидеальности ВАХ n и обратного тока насыщения I₀ , необходимо провести прямую, аппроксимирующую ВАХ диода при низких уровнях тока, определить тангенс ее угла наклона и точку пересечения с осью ординат.

U_d , B

Рис.6.

Изменению тока диода от значения I = 0,01мА до значения I = 0,1мА

(см. рис. 6), соответствует изменение Δ log₁₀ (I1 ) = 1. Тогда коэффициент

неидеальности ВАХ n находится из выражения

, (16)

т.е при Т = 300 К.

При изменении напряжения на ΔU1=0,05 В: n ≈16,7843280,05 ≈ 0,84 . Обратный ток насыщения определяется по величине тока в точке пересечения прямой, аппроксимирующей ВАХ при низких уровнях тока, с осью ординат. Из рис. 6 определяем значение .

Последовательное сопротивление диода rs определяется по разности между падением напряжения на реальном диоде и идеальном p–n–переходе –ΔU2 при высоком уровне тока I2 (см. рис. 6):

. (17)

Из рис. 6 определяем ΔU2 = 0,2 В при токе I2 = 0,1 А, тогда rs = 0,2/0,1 = 2 Ом.

По экспериментальной ВАХ pn – перехода можно не только определить значения параметров I0 , n, r_s , но и найти их оптимальные значения, т.е. такие значения, которые лучше всего приближают ВАХ, рассчитанную по выражению (13), к экспериментальной. Для этого необходимо минимизировать функцию ошибки, равную сумме квадратов нормированных разностей между значениями тока в точках экспериментальной Iэкс i (U) и рассчитанной по (13) Iрас i (U) ВАХ pn – перехода:

, (18)

где N — число точек на ВАХ pn – перехода. Такие вычисления можно легко провести с использованием математического пакета MathCAD.

Параметры ϕ_к и γ зависят от технологии изготовления и типа перехода и могут быть определены с использованием двух точек на кривой ВФХ, которые соответствуют большим обратным напряжениям. ВФХ описывается выражением (11), а график ее показан на рис. 7. При больших обратных напряжениях на pn – переходе выражение в скобках можно упростить:

, (19)

тогда из выражения (11) следует, что

, (20)

где C1 и C2 — емкости при обратных напряжениях U1 и U2 соответственно (см. рис.7). Тогда

. (21)

После определения γ ϕ_к может быть найдено с использованием формулы

. (22)

Рис. 7

Пример документа MathCAD для определения параметров нелинейной математической модели диода и их оптимальных значений по экспериментальной ВАХ с комментариями приведен ниже.

1. Чтение файла данных ivd.txt, содержащего ВАХ pn – перехода:

2. Решающий блок для вычисления n и I₀ :

n = 0.897553 Io = 1.27396410⁻⁷ — рассчитанные значения.

3. Описание ВАХ p-n-перехода:

4. Расчет последовательного сопротивления диода r_s :

5. Для расчета ВАХ по (13) необходимо многократно решать данное

нелинейное уравнение, что осуществляется с помощью функции root,

предназначенной для решения уравнения:

6. Графики ВАХ (рис.8): экспериментальной — IDC, идеальной по

выражению (1) — Id, теоретической с учетом rs (13) — IDCn:

Рис.8

Анализ: выражение (1) адекватно описывает ВАХ реального pn – перехода только в области малых токов; с помощью (13) можно получить адекватное описание всей ВАХ pn – перехода.

7. Определение функции среднеквадратического отклонения:

.

SSE(Io,n,Rs):= 0.509879 — значение среднеквадратического отклонения до оптимизации.

8. Расчет оптимальных значений параметров модели:

n = 0.911426 Io = 1.27396410⁻⁷ , Rs = 2.187723 — значения параметров модели после оптимизации;

SSE(Io,n,Rs)= 0.284268 — значение среднеквадратического отклонения после оптимизации.

9. Расчет ВАХ диода с оптимальными значениями параметров:

10. Графики ВАХ (рис.9): экспериментальной — IDC, теоретической

(13) с оптимальными значениями параметров — IDCn:

Рис.9