2.1.3. Доверительный интервал для оценки дисперсии и среднего квадратического отклонения.

Требуется оценить неизвестную генеральную дисперсию и генеральное среднее квадратическое отклонение по исправленной дисперсии, т.е. найти доверительные интервалы, покрывающие параметры D и  с заданной надежностью .

Потребуем выполнения соотношения

 .

Раскроем модуль и получим двойное неравенство:

 .

Преобразуем:

 .

Обозначим s = q (величина q находится по  "Таблице значений q"и зависит от надежности и объема выборки), тогда доверительный интервал для оценки генерального среднего квадратического отклонения имеет вид:

 .

Замечание : Так как  >0, то если q >1 , левая граница интервала равна 0:                  

 0<  < s ( 1 + q ).

Пример1.  По выборке объема n = 25 найдено "исправленное" среднее квадратическое отклонение s = 0,8.  Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с надежностью 0,95.

По таблице приложения по данным :  = 0,95; n =25 , находим q = 0,32.

Искомый доверительный интервал 0,8(1- 0,32)<  < 0,8(1+ 0,32) или  0,544< <0,056.

Пример2. По выборке объема n = 10 найдено s = 0,16. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с надежностью 0,999.

q( n=10,  =0,999) = 1,8>0.

Искомый доверительный интервал  0<  <0,16(1+1,8)  или  0<  <0,448.

Так как дисперсия есть квадрат среднего квадратического отклонения, то доверительный интервал, покрывающий генеральную дисперсию с заданной надежностью , имеет вид:

2.2. Интервальная оценка вероятности биноминального распределения по относительной частоте.

Найдем доверительный интервал для оценки вероятности по относительной частоте, используя формулу:

  

Если n достаточно велико и р не очень близка к нулю и единице, то можно считать, что относительная частота распределена приближенно по нормальному закону, причем М(W)= р. Заменив Х на относительную частоту , математическое ожидание - на вероятность, получим равенство:

Приступим к построению доверительного интервала (р₁, р₂), который с надежностью   покрывает оцениваемый параметр р Потребуем, чтобы с надежностью g выполнялось соотношение указанное выше равенство:

                                                          Заменив

 ,

                                    получим:

Таким образом, с надежностью  выполняется неравенство (чтобы получить рабочую формулу, случайную величину W заменим неслучайной наблюдаемой относительной частотой w и подставим 1- р вместо q):

Учитывая, что вероятность р неизвестна, решим это неравенство относительно р. Допустим, что w > р. Тогда

 

Обе части неравенства положительны; возведя их в квадрат, получим равносильное квадратное неравенство относительно р:

Дискриминант трехчлена положительный, поэтому корни действительные и различные:

меньший корень

больший корень:

  

 Замечание1: При больших значениях n , пренебрегая слагаемыми

 ,и

                                                                     учитывая

получим приближенные формулы для границ доверительного интервала :

   

Пример1. Производят независимые испытания с одинаковой и неизвестной вероятностью появления события А в каждом испытании. Найти доверительный интервал для оценки вероятности с надежностью 0,95, если в 80 испытаниях событие А появилось 16 раз.

По условию n =80, m=16,  =0,95. Относительная частота

   .

Из соотношения Ф(t)=0,95/2 = 0,475 по таблице находим t = 1,96. Т.к. n<100,  то используем точные формулы, получим : р₁= 0,128, р₂= 0,299.

 Замечание 2: Если n мало, то используем для определения концов доверительного интервала вероятности события при биноминальном распределении "Таблицу доверительных границ р₁ и р₂". Значения р₁ и р₂ находят в зависимости от n и m.

Пример. В пяти независимых испытаниях событие А произошло 3 раза. Найти с надежностью 0,95 интервальную оценку для вероятности события А в единичном испытании.

По условию задачи n=5, m=3. Имеет место схема повторных испытаний. Используя таблицу, находим доверительный интервал : 0,147<p<0,947.