4.3. Центр масс твердого тела и его движение

Разбив тело на элементарные массы D m_i, можно представить его как систему материальных точек, взаимное расположение которых остается неизменным. Любая из этих элементарных масс может находиться под воздействием как внутренних сил , обусловленных ее взаимодействием с другими элементарными массами рассматриваемого тела, так и внешних сил (рис. 4.13).

Рис. 4.13. Действие сил на твердое тело

Напишем для каждой элементарной массы уравнение второго закона Ньютона:

, (4.12)

где – результирующая всех внутренних сил,

– результирующая всех внешних сил, приложенных к данной элементарной массе.

Складывая уравнения (4.12) для всех элементарных масс, получим:

. (4.13)

Однако сумма всех внутренних сил равна нулю. Поэтому уравнение (4.13) упрощается следующим образом:

, (4.14)

где справа получается результирующая всех внешних сил, действующих на тело.

Тело, имеющее ось вращения, находится в покое, если сумма моментов сил, вращающих тело по часовой стрелке равна сумме моментов сил вращающих тело против часовой стрелки.

Пусть две материальные точки с массами m₁ и m₂ соединены невесомым стержнем. Найдем точку С, в которой приложена равнодействующая сил и . Если стержень подпереть в этой точке, то система будет находиться в равновесии (рис. 4.14).

Рис. 4.14. Определение координат центра масс

Точка, координаты которой определяются соотношением (4.15) называется центром масс.

. (4.15)

Обобщая (4.15) на n точек, получим:

. (4.16)

Соотношение (4.16) справедливо и для осей ОУ и ОZ. Отсюда следует, что (4.16) справедливо для случая, когда положение материальных точек определяется радиусом-вектором (рис. 4.15).

Рис. 4.15. Определение радиуса-вектора центра масс

Точка С радиус–вектор, которой определяется соотношением (4.17), называется центром масс систем.

. (4.17)

Центром масс (или центром инерции) системы материальных точек называется воображаемая точка С, положение которой характеризует распределение массы этой системы.

Скорость центра масс рассчитывается по формуле:

.

Учитывая, что , а есть импульс системы, тогда

, (4.18)

т.е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс.

, (4.19)

т.е. центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, приложенных к системе. Выражение (4.19) представляет собой закон движения центра масс.

Если система замкнута, то = const.

В замкнутой системе скорость центра масс величина постоянная. Центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо покоится.