6.1.3. Выталкивающая сила

Следствием неодинаковости давлений на разных уровнях является наличие выталкивающей силы (силы Архимеда), действующей на тела, находящиеся в жидкости или газе. Закон Архимеда гласит: на тело, погруженное в жидкость (газ), действует со стороны этой жидкости (газа) выталкивающая сила , равная весу вытесненной телом жидкости (газа), направленная вертикально вверх и приложенная к центру тяжести вытесненного объема:

=, (6.9)

где − плотность жидкости;

− объем тела.

Точка приложения выталкивающейся силы называется центром давления (центром масс погруженной части тела).

Центр тяжести самого тела совпадает с центром давления лишь в том случае, если плотность тела во всех точках одинакова. В противном случае они могут не совпадать. Например, шар, сложенный из свинцовой и деревянной половинок. Выталкивающая сила будет приложена к центру шара, точка же приложения силы тяжести смещена в сторону свинцовой половины.

Если средняя плотность тела меньше, чем плотность жидкости, то в состоянии равновесия тело будет погружено в жидкость только частично. При этом сила тяжести (приложенная к центру тяжести тела) и выталкивающая сила (приложенная к центру тяжести погруженной в жидкость части объема тела) должны быть равны по величине, и действовать вдоль одной и той же прямой (рис. 6.5), иначе они создадут вращательный момент, и равновесие будет нарушено.

Рис. 6.5. Выталкивающая сила :

− центр давления D совпадает с центром масс С тела только для однородного тела, целиком погруженного в однородную жидкость

− центр давления с центром масс не совпадает, если однородное тело погружено

в жидкость не целиком

− центр давления с центром масс не совпадает для неоднородных тел

(плотность заштрихованной части больше плотности остальной части тела)

Тело, погруженное в жидкость, находится в равновесии, плавает, если сила тяжести тела уравновешивается выталкивающейся силой , т.е. =.

Если при заданном погружении на тело не действуют никакие другие силы и >, то тело всплывает до тех пор, пока не будет выполнено условие где - объем части тела, погруженной под свободной поверхностью жидкости.

При > тело тонет и опускается на дно.

Для определения плотности (удельного веса) однородного тела неправильной формы, объем которого трудно найти при помощи измерения размеров тела, можно поступить следующим образом.

Тело дважды взвешивают на весах: один раз обычным способом, другой раз – погружая тело в жидкость, плотность которой известна. Первое взвешивание дает вес тела P. Второе взвешивание дает величину P₁, равную разности между весом тела и выталкивающей силой. По закону Архимеда . С другой стороны , где - искомая плотность самого тела. Приравнивая оба выражения для объема данного тела, найдем: .

6.2. Гидроаэродинамика

6.2.1. Линии и трубки тока. Неразрывность струи

Движение жидкости называется течением, а совокупность частиц движущейся жидкости – потоком.

Состояние движения жидкости можно определить, указав для каждой точки пространства вектор скорости как функцию времени. Совокупность векторов , заданных для всех точек пространства, образует так называемое поле вектора скорости, которое можно изобразить следующим образом. Проведем в движущейся жидкости линии так, чтобы касательные к ним в каждой точке совпадали по направлению с вектором (рис. 6.6). Эти линии называются линиями тока.

Рис. 6.6. Линии тока движущейся жидкости

Линии тока проводятся так, чтобы густота их, характеризуемая отношением числа линий к площади перпендикулярной им площадки, через которую они проходят, была больше там, где больше скорость течения жидкости, и меньше там, где жидкость течет медленнее. Таким образом, по картине линий тока можно судить о направлении и модуле скорости в разных точках пространства, т.е. можно определить состояние движения жидкости.

Поскольку величина и направление вектора в каждой точке могут меняться со временем, то и картина линий тока может непрерывно меняться. Если вектор скорости в каждой точке пространства остается постоянным, то течение называется установившимся, или стационарным. При стационарном течении любая частица жидкости проходит данную точку пространства с одним и тем же значением . Картина линий тока при стационарном течении остается неизменной, и линии тока в этом случае совпадают с траекториями частиц.

Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока. Вектор будучи в каждой точке касательным к линии тока, будет касательным и к поверхности трубки тока; следовательно, частицы жидкости при своем движении не пересекают стенок трубки тока.

Рассмотрим какую-либо трубку тока. Выберем два ее сечения S₁ и S₂ перпендикулярные направлению скорости (рис. 6.7). Предположим, что скорость движения частиц жидкости одинакова во всех точках этих сечений.

Рис. 6.7. К выводу уравнения неразрывности,

в каждой точке сечений S1 и S2 скорость

течения жидкости одинакова

За время ∆t через сечение S проходит объем жидкости . Следовательно, за 1 с через сечение S₁ пройдет объем жидкости, равный , где - скорость течения жидкости в месте сечения S₁, а за 1 c через сечение S₂ пройдет объем жидкости, равный . Возьмем трубку тока, настолько тонкую, что в каждом ее сечении скорость можно считать постоянной. Если жидкость несжимаема (т.е. плотность ее всюду одинакова и изменяться не может), то количество жидкости между сечениями S₁ и S₂ будет оставаться неизменным. Отсюда следует, что объемы жидкости протекающие за единицу времени через эти сечения, должны быть одинаковы:

=

(напомним, что через боковую поверхность трубки тока частицы жидкости не проходят).

Приведенное выше рассуждение применимо к любой паре сечений S₁ и S₂. Следовательно, для несжимаемой жидкости величина в любом сечении одной и той же трубки тока должна быть одинакова:

= (6.10)

Полученный нами результат представляет собой содержание теоремы о неразрывности струи.

Из (6.10) следует, что при переменном сечении трубки тока частицы несжимаемой жидкости движутся с ускорением. В горизонтальной трубке тока (рис. 6.8) это ускорение может быть обусловлено только непостоянством давления вдоль оси трубки – в местах, где скорость меньше, давление должно быть больше, и наоборот, в местах, где скорость больше, давление должно быть меньше.

Рис. 6.8. Трубка тока с переменным сечением

Теорема о неразрывности струи применима к реальным жидкостям и даже к газам в том случае, когда сжимаемостью их можно пренебречь. Соответствующий расчет показывает, что при движении жидкостей и газов со скоростями, меньшими скорости звука, их с достаточной степенью точности можно считать несжимаемыми.