7.7. Закон взаимосвязи массы и энергии
7.7.1. Кинетическая энергия релятивистской частицы
Определим
ее как величину, приращение которой
равно работе действующей на частицу
силы. Сначала найдем приращение
кинетической энергии dT
частицы под действием силы
на элементарном пути
:
.
Согласно основному уравнению релятивистской динамики
.
Поэтому
,
где
учтено, что
.
Это выражение можно упростить, используя
формулу зависимости массы от скорости.
Возведем эту формулу в квадрат и приведем
ее к виду
.
Найдем дифференциал этого выражения:
.
Если разделить равенство на 2m, то его правая часть совпадет с выражением для dT. Отсюда следует
.
(7.28)
Таким образом, приращение кинетической энергии частицы пропорционально приращению ее релятивистской массы. Кинетическая энергия покоящейся частицы равна нулю, а ее масса равна массе покоя m0. Поэтому, проинтегрировав (7.28), получим
.
(7.29)
Это
и есть выражение для релятивистской
кинетической энергии частицы. При малых
скоростях (
)
оно переходит в ньютоновское. Воспользуемся
формулой бинома Ньютона:
При
можно ограничиться первыми двумя членами
этого ряда
.
7.7.2. Закон взаимосвязи массы и энергии
Из формулы (7.28) видим, что приращение кинетической энергии частицы сопровождается пропорциональным приращением ее релятивистской массы. Вместе с тем известно, что при протекании различных процессов в природе одни виды энергии могут преобразовываться в другие. Поэтому естественно ожидать, что масса тела будет возрастать не только при сообщении ему кинетической энергии, но и вообще при любом увеличении общего запаса энергии тела независимо от того, за счет какого конкретного вида энергии это увеличение происходит.
Учитывая эти положения, Эйнштейн приходит к следующему фундаментальному выводу: общая энергия тела (или системы тел), из каких бы видов энергии она ни состояла (кинетической, электрической, химической и т.д.), связана с массой этого тела соотношением
.
(7.30)
Эта формула выражает один из наиболее фундаментальных законов природы – закон взаимосвязи массы m и полной энергии Е тела. В полную энергию Е не включена потенциальная энергия тела во внешнем поле, если таковое действует на тело.
Соотношение (7.30) можно записать и в другой форме, если учесть формулу (7.29). Тогда полная энергия тела
.
Отсюда непосредственно следует, что покоящееся тело (Т=0) также обладает энергией
.
Эту энергию называют энергией покоя или собственной энергией.
Мы видим, что масса тела, которая в нерелятивистской механике выступала как мера инертности или как мера гравитационного действия, теперь выступает в новой функции – как мера энергосодержания тела. Даже покоящееся тело, согласно теории относительности, обладает запасом энергии – энергией покоя.
Изменение
полной энергии тела (системы) сопровождается
эквивалентным изменением его массы
и наоборот. При обычных макроскопических
процессах изменение массы тел оказывается
чрезвычайно малым, недоступным для
измерений.
Совершенно иначе обстоит дело в ядерной физике. Именно здесь впервые оказалось возможным экспериментально проверить и подтвердить закон взаимосвязи массы и энергии. Это обусловлено тем, что ядерные процессы и процессы превращения элементарных частиц сопровождаются весьма большими изменениями энергии, сравнимыми с энергией покоя самих частиц.
Чтобы охарактеризовать прочность связи и устойчивость системы каких-либо частиц (атомное ядро – система протонов и нейтронов), рассматривают энергию связи. Она равна работе, которую необходимо затратить, чтобы разложить эту систему на составные части. Энергия связи выражается формулой:
,
где m0i – масса покоя i-ой частицы в свободном состоянии;
М0 – масса покоя системы, состоящей из n частиц.
Закон взаимосвязи массы и энергии блестяще подтвержден экспериментом о выделении энергии при протекании ядерных реакций. Он широко используется для расчета энергетических эффектов при ядерных реакциях и превращениях ядерных частиц.