5.6.2. Центробежная сила инерции

Пусть диск равномерно вращается с угловой скоростью  (-const) вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. На диске, на разных расстояниях от оси вращения на столбиках подвешены шарики массой m (рис. 5.6а). При вращении этой системы шарики отклоняются от вертикали на некоторый угол .

а б

Рис. 5.6. Положение шариков на вращающемся диске

а - положение шариков, помещенных на различных расстояниях от оси вращения,

б – силы, действующие на отдельный шарик

В инерциальной системе отсчёта, связанной, например с помещением, где установлен диск, шарик равномерно вращается по окружности радиусом R (R - расстояние от центра вращающегося шарика до оси вращения.) Следовательно, на него действует сила, равная и направленная перпендикулярно оси вращения диска. Она является равнодействующей силы тяжести и силы натяжения нити : . Когда движение шарика установится, то (рис. 5.6б), откуда

,

т.е. углы отклонения нитей маятников будут тем больше, чем больше расстояние R от центра шарика до оси вращения диска и чем больше угловая скорость вращения .

Относительность системы отсчёта, связанной с вращающимся диском, шарик покоится, что возможно, если сила уравновешивается равной и противоположно направленной ей силой , которая является ничем иным, как силой инерции, так как на шарик никакие другие силы не действуют. Сила , называемая центробежной силой инерции, направлена по горизонтали от оси вращения диска и равна

. (5.12)

Действия центробежных сил инерции подвергаются, например, пассажиры в движущемся транспорте на поворотах, летчики при выполнении фигур высшего пилотажа, центробежные силы используются во всех центробежных механизмах: насосах, сепараторах и т.д., где они достигают огромных значений. При проектировании быстро вращающихся деталей машин (роторов, винтов самолетов и т.д.) принимаются специальные меры для уравновешивания центробежных сил инерции.

Из формулы (5.12) следует, что центробежная сила инерции действует во вращающихся системах на все тела, удаленные от оси вращения на конечное расстояние, независимо от того, покоятся ли они в этой системе или движутся относительно нее.

5.6.3. Сила Кориолиса

На тело, движущееся во вращающейся системе отсчета также действует сила инерции, которую называют силой Кориолиса по имени открывшего ее французского физика и инженера Гюстава Гаспара Кориолиса (1792 – 1843).

Пусть шарик массой m движется с постоянной скоростью v вдоль радиуса равномерно вращающегося диска (v – const,  – const, v). Если диск не вращается, то шарик, направленный вдоль радиуса, движется по радиальной прямой и попадает в точку А (рис. 5.7), если же диск привести во вращение в направлении, указанном стрелкой, то шарик катится по кривой ОВ, причем его скорость относительно диска изменяет свое направление. Это возможно лишь тогда, если на шарик действует сила, перпендикулярная скорости v.

Рис. 5.7. Движение шарика на вращающемся диске

Для того, чтобы заставить шарик катиться по вращающемуся диску вдоль радиуса, используем жестко укрепленный вдоль радиуса диска стержень, на котором шарик катится без трения равномерно и прямолинейно со скоростью v (рис. 5.8). При отклонении шарика стержень действует на него с некоторой силой F. Теперь относительно диска шарик движется равномерно и прямолинейно, что можно объяснить тем, сила F уравновешивается приложенной к шарику силой инерции F_К, перпендикулярной скорости v.

Рис. 5.8. Силы, действующие на шарик,

движущийся на вращающемся диске

Эта сила и называется силой Кориолиса:

. (5.13)

Вектор перпендикулярен векторам скорости тела и угловой скорости вращения системы отсчета в соответствии с правилом правого винта.

Действием этой силы объясняется ряд наблюдаемых на Земле явлений. Например, тело, свободно падая с вершины башни, движется не по вертикали, а слегка отклоняется к востоку. Это отклонение тем больше, чем больше высота башни, и зависит от географической широты места проведения опыта. При прочих равных условиях величина смещения максимальна на экваторе и равна нулю на полюсах. Рассмотрим случай падения на экваторе с точки зрения неподвижного и подвижного наблюдателей.

Для неподвижного наблюдателя (как бы смотрящего со стороны на Землю вместе с башней) на свободно падающее тело действует только сила тяготения к Земле F. Эта сила сообщает телу ускорение, направленное к центру Земли. Следовательно, сила F не изменяет численного значения линейной скорости тела в суточном сращении земли. Иными словами, в процессе падения тело сохраняет значение скорости, соответствующее вершине башни v₁ (рис. 5.9). Линейная же скорость основания башни v меньше, чем скорость верхушки башни v₁:

,

где R – радиус Земли,

 – угловая скорость ее суточного вращения.

Поэтому точка приземления тела должна быть несколько смещена к востоку (в направлении вращения Земли) по сравнению с вершиной башни.

Рис. 5.9. Смещение падающего с высоты h

тела в направлении вращения Земли

Для подвижного наблюдателя на тело, помимо силы F тяготения к Земле, действует центробежная F_ц и кориолисова F_K cилы инерции (рис. 5.10). Первые две силы направлены радиально: F - к центру Земли, F_ц - от центра Земли. Поэтому их равнодействующая должна была бы вызвать строго вертикальное падение тела. Однако кориолисова сила инерции F_K перпендикулярна к скорости v падения тела, поэтому вызывает искривление его траектории и смещение точки приземления к востоку.

Рис. 5.10. Силы, действующие на тело падающее с высоты h

во вращающейся системе отсчета

Аналогичным образом можно объяснить, почему реки, текущие в меридиональном направлении, всегда подмывают вполне определенный берег: правый по течению – для рек северного полушария Земли и левый – для рек южного полушария. Например, реки северного полушария, текущие с севера на юг, подмывают западный берег.

С точки зрения неподвижного наблюдателя численные значения линейных скоростей точек поверхности Земли в ее суточном вращении зависят от географической широты :

,

где v₀ – линейная скорость точек экватора. Поэтому частицы воды, перемещаясь с севера на юг, должны увеличивать свою линейную скорость v. Так как эта скорость направлена с запада на восток, то ее увеличение может осуществляться только за счет взаимодействия частиц воды с западным берегом реки, который при этом подмыва-ется.

Для подвижного наблюдателя на частицы воды, движущиеся с севера на юг с относительной скоростью v, действуют кориолисовы силы инерции F_K, которые направлены с востока на запад (рис. 5.11). Поэтому частицы воды отклоняются в том же направлении, подмывая западный берег реки.

Рис. 5.11. Направление силы Кориолиса для частиц воды (для рек)

текущих с севера на юг

Неинерциальность земной системы отсчета легко обнаружить на опыте с помощью маятника Фуко. Фуко обнаружил, что плоскость качаний маятника постепенно изменяет свою ориентацию по отношению к земной системе отсчета, это в свое время явилось одним из доказательств вращения Земли. Если бы не было силы Кориолиса, то плоскость колебаний качающегося маятника оставалась бы неизменной. Действие же сил Кориолиса приводит к вращению плоскости колебания вокруг вертикального направления.

Для любого из тел, находящихся в неинерциальной системе отсчета, силы инерции являются внешними, следовательно, здесь нет замкнутых систем. Это означает, что в неинерциальных системах отсчета не выполняются законы сохранения импульса, энергии и момента импульса.

Силы инерции, так же как и силы тяготения пропорциональны массам тел. При некоторых условиях силы инерции и силы тяготения невозможно различить. Например, движение тел в равноускоренном лифте происходит точно так же, как и в неподвижном лифте, висящем в однородном поле тяжести. Никакой эксперимент, выполненный внутри лифта, не может отделить однородное поле тяготения от однородного поля сил инерции. Аналогия между силами тяготения и силами инерции лежит в основе принципа эквивалентности гравитационных сил и сил инерции (принципа эквивалентности Эйнштейна). Все физические явления в поле тяготения происходят совершенно так же, как и в соответствующем поле сил инерции, если напряженность обоих полей в соответствующих точках пространства совпадают, а прочие начальные условия для рассматриваемых тел одинаковы. Этот принцип является основой общей теории относительности.