4. Элементы математической логики

Начало науки о законах и формах мышления связывают с именем Аристотеля. Прошло два тысячелетия, прежде чем Г. Лейбниц предложил ввести в логику математическую символику и использовать ее для общих логических построений. Эту идею последовательно реализовал в XIX в. Дж. Буль и тем самым заложил основы математической (символической) логики.

4.1. Сущность математической логики

Логика является началом любой научной теории. Даже в Библии сказано, что «сначала было слово». Логика как наука о способах мышления, приводящих к истине, возникла в глубокой древности. Ее основы заложены древнегреческими философами Перменидом, Зеноном, Протагором, Сократом, сведения о которых дошли до нас благодаря Платону. Им были также выявлены некоторые принципы и схемы рассуждений (отчасти). Но только Аристотель решительно отделил их от содержания рассуждений и создал чистую систему силлогизмов правил вывода, что привело к возникновению теории логики.

Правила вывода позволяют преобразовывать исходные утверждения подобно тому, как тождественные преобразования в математике дают возможность решать различные системы уравнений. Следующим шагом формализации логики являлось появление специальной символики для точной и компактной записи утверждений и определения операций над ними.

Идея перенесения тех методов, которые обычно применяются в математике, на логику постепенно реализуется Б. Паскалем (1623—1662), Г. Лейбницем, Дж. Булем (1815—1864), О. де Морганом (1806-1871), Г. Фреге (1848-1925), Б. Расселом (1872—1970), Д. Гильбертом, А. Марковым (1903— 1979) и др. Так появился язык математической логики как логическое продолжение языка математики.

Языковыми формами этого языка являются математические понятия абстрактные объекты. В отличие от объектов реального мира, абстрактные объекты лишены материальной сущности. Например, бильярдный шар, лишенный материальной сущности, это бесконечное множество точек трехмерного евклидова пространства, расстояние от которых до некоторой особой точки не превышает величины R — радиуса этого шара. Из таких математических объектов можно строить объекты, процессы и явления реального мира.

Получаемые при этом подобия называют математическими моделями. Компьютер «оживляет» эти подобия, и они начинают вести себя в некотором замкнутом пространстве (в единичном гиперкубе, который создается устройством памяти компьютера) подобно тому, как ведут себя в реальном мире исследуемые объекты, процессы и явления. При этом без риска исследователь может осуществлять любые эксперименты над этими подобиями. Результаты экспериментов не выйдут за пределы замкнутой компьютерной памяти, не потревожат экологическую систему реального мира и его обитателей. Исследователь лишь получит ответ на вопрос: что же в действительности может произойти,

С появлением языка математической логики стало» возможным составлять алгоритмы логического вывода. Заговорили о создании «искусственного интеллекта», и встал вопрос; нельзя ли создать универсальный алгоритм логического вывода (суперинтеллект), позволяющий доказать или опровергнуть любое утверждение? В свое время такой суперинтеллект пытались создать Б. Паскаль, Г. Лейбниц. Программа Д. Гильберта была последней попыткой реализации этого универсального алгоритма, но и она закончилась неудачей. Оказалось, что создание такого суперинтеллекта невозможно даже теоретически. В 1931 г. австрийский математик Курт Гедель доказал, что всякая достаточно богатая формальная система неполна, т.е. в ней найдутся содержательно истинные утверждения, не доказуемые в этой системе.

В последние десятилетия логика находит все более широкое применение в технике при исследовании и разработке вычислительных машин, дискретных автоматов. Ее методы используются в теории преобразования и передачи информации, теории вероятностей и комбинаторном анализе. Математическая логика начинает внедряться в такие нематематические области, как экономика, биология, медицина, психология, языкознание, право. Интенсивно развиваются специальные разделы математической логики, призванные обслуживать конкретные области науки и техники.

Столь энергичный выход математической логики за пределы математики объясняется тем, что ее аппарат легко распространяется на объекты самой общей природы, необходимо лишь, чтобы они характеризовались конечным числом состояний.

Двузначная логика имеет дело с объектами, которые принимают одно из двух возможных значений (истинное или ложное высказывание, наличие или отсутствие заданного признака у объекта и т.п.). Объекты, которые могут принимать значения из конечного множества, содержащего больше двух элементов, называют многозначными. Они либо сводятся каким-нибудь способом к двузначным объектам, либо обслуживаются аппаратом многозначной логики.

Устоявшееся представление о математической логике как науке, изучающей законы мышления с применением аппарата математики, главным образом, для нужд самой математики, в современных условиях становится слишком узким. С расширением областей применения и дальнейшим развитием математической логики изменяется и взгляд на нее. Объектами математической логики являются любые дискретные конечные системы, а ее главная задача — структурное моделирование таких систем.