1.3 Расчет динамической характеристики

Динамическая характеристика находится по интегральной передаточной функции , которая рассчитывается как пространственная композиция от произведения континуальной передаточной функции на преобразованную по Лапласу стандартизирующую функцию с выделенным из нее входным воздействием. Так как стандартизирующая функция не содержит входное воздействие f(x,t):

; (11)

; (12)

. (13)

Интегральную передаточную функцию представим в виде:

. (14)

Слагаемые и найдем как:

; (15)

; (16)

Из уравнений (14), (15), (16) получим:

(17)

Для выбранной выходной переменной построим ЛАЧХ. При этом необходимо получить частотную форму записи передаточной функции (17), для чего произведем замену р=j

; (18)

Найдем ЛАЧХ по выражению:

. (19)

Для построения характеристики используем программу MathCad:

L(ω)

Рисунок 3 – График логарифмической амплитудно-частотной характеристики

Аппроксимируя полученную ЛАЧХ ее стандартными типовыми наклонами получаем 0 дб/дек и -20 дб/дек, что соответствует апериодическому звену 1-го порядка. Тогда передаточная функция будет иметь вид:

; (20)

найдем Т, при условии:T=1/ ω,

где Т - период, с.

ω - частота аппроксимированной ЛАЧХ, Гц.

T=1/ ω= 1/0,4=2,5 (с).

График ЛАЧХ пересекает ось Y в точке 18, тогда усиление равно:

20lgk = 18, откуда k=10^18/20=7,94 (21)

С помощью аппроксимации передаточная функция запишется в виде:

(22)

1.4 Моделирование сержня в среде Elcut

Смоделируем нагрев стержня при граничных условиях g₁=0, g₂=10*cos(0,02t). Построим двумерную модель стержня в виде прямоугольника длиной l=3м и высотой h=0,5 м, зададим значения граничных условий на ребрах модели и выберем свойства материала стержня (сталь 20). Решение задачи получим в виде цветовой шкалы, а также графика температуры:

Стержень нагревается от 0 до 0,349 К.

2 Моделирование на макроуровне

2.1 Исходные данные

Дана схема гидравлической системы, представленная на рисунке 4. В системе используется в качестве рабочей жидкости вверенное масло АУ. Материал трубопровода – сталь. Основные параметры системы и жидкости приведены в таблице 1. Параметры трубопроводов приведены в таблице 2.

P_B1

P_B2

Qn

P_B3

P_B4

Рисунок 4 – Схема гидравлической системы

1, 2, 3, 4 - магистрали потребителей; P_B1, P_B2, P_B3, P_B4- давление потребителей; Q_H – насос.

Таблица 1 – Параметры системы и жидкости

Обозначение	Основные параметры	Значение
	Плотность рабочей жидкости	860 кг/м^3
	Вязкость	0,15·10^-4 м^2/с
ЕС	Модуль упругости системы	1,7·10^8 Па
Етр	Модуль упругости трубопровода	2.1·10^1^1 Па
	Коэффициент потерь на трение при турбулентном потоке	0,003
	Толщина стенки трубопровода	3*10^-4 м

^{Таблица 2 – Параметры трубопроводов}

^Параметр	^Обозначение	^Номер трубопровода
		^1	^2	^3	^4	^5
^Диаметр трубопровода	^dтр^, м	^0.02	^0.03	^0.05	^0.05	^0.015
^Длина трубопровода	^l^,м	^1^.^5	^2.5	^2	^2	^0^.9
^Коэффициент местных сопротивлений	^ξ	^4	^5.5	^5	^5	^3
^Давление потребителей и насосов	^P^, *^10^6^Па	^0^.2	^0.25	^0.14	^0.15	^-

Q_n1 = 50*10^-6 м³/с;

Q_n2 = 300*10^-6 м³/с.

2.2 Графические формы математической модели гидросистемы

2.2.1 Динамическая схема. На основании исходной принципиальной схемы гидравлической системы (рисунок 4) строится динамическая модель. Участки магистралей представляются как последовательное соединение инерционного и диссипативного элемента, причем для инерционного элемента указывается направление движения рабочей жидкости. В точки ветвления магистралей устанавливают упругие элементы, учитывающие сжимаемость жидкости и деформируемость стенок трубопровода. На рисунке 5 представлена полученная динамическая модель.

2.2.2 Орграф. На основании динамической модели построен ориентированный граф, являющийся графической формой модели гидравлической системы. Узлы орграфа соответствуют сосредоточенным массам, а ветви – компонентам математической модели.

P_B1

Q₁

P_B2

µ₂

m₁

Q₂

µ₁

µ₃

m₂

m₄

P_B4

P_B3

µ₄

m₃

Q₃

Q₄

µ₅

C₁

Q_n

Рисунок 5 – Динамическая модель гидравлической системы

Базовый узел (с нулевым номером) отображает инерциальную систему отсчета фазовых координат типа потока. Источник обеспечивает возрастание потоковой переменной узла, поэтому сигналы направляют от базы к узлу. В магистралях потребителей – наоборот. Во всех ветвях инерционных и диссипативных элементов направление сигналов от узла к базе. Такое направление характеризует затраты энергии источников на увеличение кинетической энергии и на трение. В ветвях упругих компонентов стрелки указывают направление передачи энергии от источников к потребителям. В ветвях всех элементов кроме направления записывается параметр каждого элемента. На рисунке 6 представлен полученный орграф.

2.2.3 Матрица инциденций. Для формирования полной математической модели на основе компонентных и топологических уравнений широкое применение получил узловой метод, для него необходимо сформировать матрицу инциденций, отражающую структуру связей всех элементов системы. Матрица инциденций формируется на основании ориентированного графа. Число строк матрицы соответствует числу узлов орграфа, число столбцов – числу ветвей. Отсутствие связи между узлом и

С₁

P_в2

m₁

P_в1

С₁

µ₁

m₂

µ₃

µ₂

P_в4

m₃

m₄

С₁

µ₄

P_в3

С₁

m₅

µ₅

Q_H

насос

Рисунок 6 – Ориентированный граф гидравлической системы

ветвью обозначается «0», если ветвь входит в узел – «1», если выходит – «-1».

Матрицу инциденций А можно представить состоящей из подматриц инерционных А_И, диссипативных А_Д, упругих А_У ветвей и подматрицы ветвей источников потенциалов А_В. Для исходной системы получена матрица, представленная в таблице 3:

А=[A_И, А_Д, А_У, А_В] (23)

Таблица 3 – Матрица инциденций гидравлической системы

Узлы	Ветви
	Диссипативные					Упругие	Источники потенциалов
№	μ1	μ 2	μ3	μ 4	μ 5	С1	Рв1	Рв2	Рв3	Рв4	Q5
1	-1	0	0	0	0	1	-1	0	0	0	0
2	0	-1	0	0	0	1	0	-1	0	0	0
3	0	0	-1	0	0	1	0	0	-1	0	0
4	0	0	0	-1	0	1	0	0	0	-1	0
5	0	0	0	0	-1	-1	0	0	0	0	1
подматрица	АД					АУ	АВ

2.3 Узловой метод формирования математической модели гидросистемы

Из матрицы инциденций можно получить систему равнений (24), математически описывающие функционирование гидравлической системы:

(24) где ;

А_Д, А_У, А_В – подматрицы инциденций;

- векторы давлений;

- векторы расходов,

m, с, - диагональные матрицы параметров элементов гидравлической системы.

Для нашего случая система будет иметь вид:

(25) Так как в исходной системе насос постоянной производительности, то =0 и пятое уравнение (25) преобразуется к виду:

P_H = P_Д5 + P_У1 (26)

Комплексные уравнения диссипативных элементов носят более сложный характер, при этом выделяют линейные и нелинейные потери давления в гидромагистралях и уравнения, запишется в следующем виде:

(27)

где, коэффициент гидравлического сопротивления, характеризующий линейные потери при ламинарном режиме движения жидкости;

коэффициент гидравлического сопротивления, характеризующий нелинейные потери при турбулентном режиме, по длине и местные.

Таким образом, математическая модель рассматриваемой гидросистемы представляется системой пяти дифференциальных уравнений и шестью алгебраическими выражениями.

Вычисление параметров трубопровода гидросистемы

Значения коэффициентов линейных и нелинейных потерь для конкретной магистрали находят по формулам:

-площадь сечения трубопровода, м²:

; (28)

-коэффициент линейных потерь, H·с/м⁵;

; (29)

-коэффициент нелинейных потерь, H·с/м⁵.

; (30)

-коэффициент жесткости участка:

; (31)

где - доля объема трубопровода;

-объем трубопровода, м³:

V_тр=S_тр·l . (32) Доля объема трубопровода рассчитывается как отношение объема отдельного участка к сумме объемов всех n соединенных между собой участков:

(32)

где - объема трубопровода i-ого участка, м³.

Коэффициент жесткости упругого элемента:

. (34)

По исходным данным и полученным результатам получаем жесткость упругого элемента c₁= 4,4·10¹⁰ Н/м⁵.

Коэффициент массы:

. (35)

Полученные результаты для отдельных участков трубопровода приведены в таблице 4.

Таблица 4 – Параметры трубопровода гидросистемы

Параметр	Номер магистрали
	1	2	3	4	5
Площадь сечения трубопровода, Sтр, ·10^-4м^2	3,142	7,069	19,63	19,63	1,767
Объем трубопровода, Vтр,·10^-4м^3	4,712	17,67	39,27	39,27	1,59
Доля объема трубопровода,	0,047	0,177	0,393	0,393	0,016
Коэффициент массы, mг,·10^6кг/м^4	4,106	3,042	0,876	0,876	4,38
Коэффициент линейных потерь,,·10^6H·с/м^5	4,941	1,627	0,169	0,169	9,369
Коэффициент нелинейных потерь,,·10^10H·с/м^5	2,723	0,688	0,009	0,009	6,609
Коэффициент жесткости участка, cг, ·10^10Н/м^5	726,3	50,36	9,713	9,713	6459