2.5 Анализ динамической модели гидросистемы

Динамическая модель описывает переходный процесс гидросистемы. В общем случае система дифференциальных уравнений, описывающих гидравлическую систему, имеет вид:

(48)

где А – матрица Якоби,

- вектор фазовых координат,

- вектор-функции внешних воздействий,

- вектор функции внешних воздействий.

С учетом произведенных ранее расчетов, запишем систему дифференциальных уравнений, представляющую динамическую гидросистему:

(49)

Для динамической модели матрицу Якоби можно аналогично статической модели:

(50)

Переходный процесс определяется в результате численного интегрирования системы (49), для чего необходимо произвести выбор ряда параметров.

Пусть переходный процесс оценивается как реакция системы, находящейся в состоянии покоя, на ступенчатое воздействие вида:

(51)

где u₀ и u_k – начальное и конечное значение функции воздействия u(t), причем u₀ и u_k – const, (u₀ ≠ u_k):

(52)

Начальные (46) и конечные (47) значения всех фазовых координат определены при анализе статического режима (таблица 5).

=> (53)

Если система устойчивая, то через некоторый промежуток времени, система перейдет из состояния V₀ в состояние V_k. Для численного интегрирования будем использовать неявный метод Эйлера. Вектор входных воздействий V_k при имеет вид:

(54)

2.5.1 Выбор шага интегрирования.

Для устойчивости самого метода проведем выбор шага интегрирования h исходя из условия:

, (55)

где - собственное значение матрицы Якоби.

Для комплексного значения условие имеет вид:

(56)

Собственными значениями матрицы Якоби порядка n называют корни , где , ее характеристического уравнения, определяемого по формуле:

(57)

где А – матрица Якоби динамической модели;

Е – единичная матрица.

Произведем расчет матрицы Якоби по формуле (50), подставляя начальные значения фазовых координат:

(58)

Тогда характеристическое уравнение имеет вид:

(59)

Вычислим корни характеристического уравнения с помощью программы MathCad, тогда собственные значения матрицы Якоби имеют вид:

(60)

Корни характеристического уравнения имеют как отрицательные, так и положительные значения действительных частей, что говорит о неустойчивости системы.

Наличие комплексно-сопряженных корней дает затухающий колебательный процесс ряда фазовых координат. Для гидравлической системы рекомендуемый шаг интегрирования h=0.5с. Выполним проверку устойчивости численного метода Эйлера при данном шаге.

При λ=0: =1;

При λ=-0,617: =1,3

При λ= -0,156 -0,342i:

При λ= λ= -0,156+0,342i:

Проверка условий выполняется, следовательно, шаг h=0.5 обеспечит устойчивость метода и приемлемую точность вычислений.