1.4 Расчет динамической характеристики

Динамическая характеристика находится по интегральной передаточной функции, которая рассчитывается как пространственная композиция от произведения континуальной передаточной функции и от преобразованной по Лапласу стандартизирующей функции с выделенным из нее входным воздействием:

⁽¹⁷⁾

Из нормирующей функции можно выделить в явном виде через компоненту входной координаты требуемую :

⁽¹⁸⁾

^{Поскольку в нашем случае нет возмущающих воздействий, примем} , тогда .

Континуальную передаточную функцию находим по справочным материалам [1]:

⁽¹⁹⁾

Найдем изображение стандартизирующей функции по Лапласу:

(20)

В соответствии с выражениями (18)-(20) запишем:

(21)

Найдем характеристику полученной функции в точке x=l/2:

=

Для выбранной выходной переменной построим ЛАЧХ. При этом необходимо получить частотную форму записи передаточной функции, для этого произведем замену р=j, и найти ЛАЧХ по выражению:

(22)

Для построения характеристики используем программу MathCad:

Полученная ЛАЧХ представлена на рисунке 4. Аппроксимируем ее стандартными типовыми наклонами. Получили наклон -40дБ/дек, что соответствует колебательному звену с резонансной частотой Гц. В общем случае колебательное звено имеет вид:

(23)

Из ЛАЧХ можно сделать вывод, что усиление равно:

(24)

Рисунок 4 – ЛАЧХ струнного датчика натяжения.

С помощью аппроксимации передаточная функция запишется в виде:

(25)

1.5. Моделирование струны в среде elcut 5.2

С помощью программы ELCUT можно моделировать задачи магнито- и электростатики, электрических и магнитных полей, задачи теплопередачи и упругих деформаций.

Смоделируем поведение струны при максимальном отклонении незакрепленного конца струны (). Для этого создадим задачу ELCUT упругих напряжений и деформаций, единицы измерения координат - микрометры. Затем построим плоскую модель струны – прямоугольник с размерами 100х50000 (0.1мм х 50мм). Затем зададим материал блока в свойствах: для вольфрама модуль Юнга равен 3,5·10⁵МПа=3,5·10¹¹ Н/м² (3.5e+11). Для левого ребра перемещения равны нулю, для правого задаются как постоянное значение (2мм). Затем выполняем команду «Решить задачу», результат решения показан на рисунке 5. Для наглядного анализа результатов воспользуемся цветовой картой. Критерием выберем главное напряжение - это максимальное напряжение, которое испытывает струна в данной точке. Как видно из цветовой картины (рисунок 6), максимальные напряжения струна испытывает на ее концах, с помощью просмотра локальных значений поля получим максимальное напряжение в струне: 2,14·10⁵ Н/м². Аналогично можно судить и о значениях других величин (деформации, перемещений, различных напряжений и критериев прочности), которые можно также сохранять в отдельный файл.

Рисунок 5 – Моделирование смещений струны от начального положения.

Рисунок 6 – Графическое представление напряжений в струне

2 МОДЕЛИРОВАНИЕ НА МАКРОУРОВНЕ

2.1 Исходные данные

Дана схема гидравлической системы, представленная на рисунке 7. В системе используется в качестве рабочей жидкости вверенное масло АУ. Материал трубопровода – латунь. Основные параметры системы и жидкости приведены в таблице 1. Параметры трубопроводов приведены в таблице 2.

Рисунок 7 – Схема гидравлической системы

Таблица 1 – Параметры системы и жидкости

Обозначение	Основные параметры	Значение
	Плотность рабочей жидкости	860 кг/м^3
	Вязкость	0,15·10^-4 м^2/с
ЕС	Модуль упругости системы	1,7·10^8 Па
Етр	Модуль упругости трубопровода	9·10^10 Па
	Коэффициент потерь на трение при турбулентном потоке	0,028
	Толщина стенки трубопровода	2,2 мм

^{Таблица 2 – Параметры трубопроводов}

^Обозначение	^Параметр	^Номер трубопровода
		^1	^2	^3
	^Диаметр трубопровода	^20 мм	^30 мм	^20 мм
	^Длина трубопровода	^1,5 м	^2,5 м	^2 м
	^Коэффициент местных сопротивлений	^4	^5,5	^5
^Р	^Давление потребителей и насосов	^0,2 МПа	^0,2 МПа	^0,25 МПа и 0,5МПа

2.2 Графические формы математической модели гидросистемы

2.2.1 Динамическая схема. На основании исходной принципиальной схемы гидравлической системы строится динамическая модель. Участки магистралей представляются как последовательное соединение инерционного и диссипативного элемента, причем для инерционного элемента указывается направление движения рабочей жидкости. Инерционными элементами называются сосредоточенные мамы, обладающие инерционными свойствами и способностью накапливать кинетическую энергию. Диссипативные элементы отображают свойства диссипации (рассеивания) энергии конструктивными элементами технического объекта, обусловленные силами внутреннего трения. В точки ветвления магистралей устанавливают упругие элементы, учитывающие сжимаемость жидкости и деформируемость стенок трубопровода. На рисунке 8 представлена полученная динамическая модель.

2.2.2 Орграф. На основании динамической модели построен ориентированный граф, являющийся графической формой модели гидравлической системы. Узлы орграфа соответствуют сосредоточенным массам, а ветви – компонентам математической модели. Базовый узел (с нулевым номером) отображает инерциальную систему отсчета фазовых координат типа потока. Источник обеспечивает возрастание потоковой переменной узла, поэтому сигналы направляют от базы к узлу. В магистралях потребителей – наоборот. Во всех ветвях инерционных и диссипативных элементов направление сигналов от узла к базе. Такое направление характеризует затраты энергии источников на увеличение кинетической энергии и на трение. В ветвях упругих компонентов стрелки указывают направление передачи энергии от источников к потребителям. В ветвях всех элементов кроме направления записывается параметр каждого элемента. На рисунке 9 представлен полученный орграф.

Рисунок 8 – Динамическая модель гидравлической системы

Рисунок 9 – Ориентированный граф гидравлической системы

2.2.3 Матрица инциденций. Для формирования полной математической модели на основе компонентных и топологических уравнений широкое применение получил узловой метод, для него необходимо сформировать матрицу инциденций, отражающую структуру свеязей всех элементов системы. Матрица инциденций формируется на основании ориентированного графа. Число строк матрицы соответствует числу узлов орграфа, число столбцов – числу ветвей. Отсутствие связи между узлом и ветвью обозначается «0», если ветвь входит в узел – «1», если выходит – «-1».

Матрицу инциденций А можно представить состояцей из подматриц инерционных А_И, диссипативных А_Д, упругих А_У ветвей и подматрицы ветвей источников потенциалов А_В. Для исходной системы получена матрица, представленная в таблице 3.

А=[A_И, А_Д, А_У, А_В] (26)

Таблица 3 – Матрица инциденций гидравлической системы

Узлы	Ветви
	Источники потенциалов			Упругие	Диссипативные
	m1	m2	m3	c1	Pb1	Pb2	PH
1	-1	0	0	1	-1	0	0
2	0	-1	0	1	0	-1	0
3	0	0	-1	-1	0	0	1
	AB			AУ	АД

2.3 Узловой метод формирования математической модели гидросистемы

Из матрицы инциденций можно получить систему равнений (27), математически описывающие гидравлическую систему.

(27)

где А_Д, А_У, А_В – подматрицы инциденций,

- векторы давлений,

- векторы расходов,

m, с, - диагональные матрицы параметров элементов гидравлической системы.

Для нашего случая система будет иметь вид:

(28)

2.4 Расчет статической модели гидросистемы

При постоянном воздействии система находится в установившемся равновесном состоянии. Ее фазовая координата (давление Р и расход Q) при этом постоянна. Такой режим функционирования системы называется статическим и достигается при постоянном внешнем воздействии:

– давления к потребителю (Р_b1, P_b2),

– подачи или давления насоса Q_H (P_H).

При этом устанавливаются постоянные значения фазовых координат системы:

– расход в гидромагистралях,

– давление в упругом элементе.

Из данного утверждения следует:

(29)

Из (28) и (29) получаем систему для статического режима:

(30)

Учитывая нелинейные свойства диссипативных элементов гидравлической системы, их компонентное уравнение имеет вид:

(31)

Перенесем в правую часть системы внешние воздействия, тогда статическая модель будет иметь вид:

(32)

Для ее решения используются численный метод, для которого предварительно сформируем матрицу Якоби J. Элементами матрицы Якоби для сформированной нелинейной системы являются частные производные от нелинейной вектор-функции по фазовым координатам системы (Q₁, Q₂, Q₃, P_У1).

(33)

Нахождение частной производной по расходу от давления в диссипативном элементе (31) имеет вид:

(34)

Матрица Якоби исходной гидросистемы имеет вид:

(35)

Для решения статической модели используем численный метод Ньютона, алгоритм которого включает следующие этапы:

– выбор начального приближения , где - вектор фазовых координат (Q₁, Q₂, Q₃, P_У1), V₀ – нулевой вектор-столбец;

– вычисление матрицы Якоби J_k в точке _K (k=0, 1, 2 …);

– вычисление вектора невязок . Вектор невязок получается из системы уравнений (32) для статического режима:

(36)

– определение вектора поправок:

(37)

– определение нового приближения вектора искомых фазовых переменных:

(38)

– проверка условия окончания итерационного процесса, при выполнении условия, что V_k и V_k+1 соизмеримы (совпадают до десятых), иначе происходит переход на предыдущие этапы и вычисляется следующая итерация.

2.4.1 Вычисление параметров трубопровода гидросистемы. Значения коэффициентов линейных и нелинейных потерь для конкретной магистрали находят по формулам:

, (39)

где - коэффициент линейных потерь, H·с/м⁵;

S_ТР – площадь сечения трубопровода, м².

, (40)

где - коэффициент нелинейных потерь, H·с/м⁵.

Площадь сечения трубопровода можно найти по формуле:

(41)

Коэффициент жесткости участка можно найти по формуле:

, (42)

где - доля объема трубопровода;

V_тр – объем трубопровода, м³.

V_тр=S_тр·l (43)

Доля объема трубопровода рассчитывается как отношение объема отдельного участка к сумме объемов всех n соединенных между собой участков:

(44)

где - объема трубопровода i-ого участка, м³.

Коэффициент жесткости упругого элемента находится по формуле:

(45)

По исходным данным и полученным результатам получаем жесткость упругого элемента c₁=1.272·10¹¹ Н/м⁵.

Коэффициент массы вычисляется по формуле:

(46)

Полученные результаты для отдельных участков трубопровода приведены в таблице 4.

№ магис.	Sтр, ·10^-6 м^2	, ·10^6 H·с/м^5	, ·10^9 H·с/м^5	Vтр,·10^-6 м^3		cг, ·10^12 Н/м^5	mг,·10^6кг/м^4
1	314.16	4.94	18.4	471.239	0.164	2.158	4.106
2	706.86	1.63	6.32	1767.146	0.626	0.152	3.042
3	314.16	6.59	23.1	628.319	0.229	1.214	5.475

Таблица 4 – Параметры трубопровода гидросистемы