- •1.2 Выбор уравнения и его идентификация
- •1.4 Расчет динамической характеристики
- •1.5. Моделирование струны в среде elcut 5.2
- •2.4.2 Результаты статического анализа.
- •2.5 Анализ динамической модели гидросистемы
- •2.5.1 Выбор шага интегрирования. Для устойчивости самого метода проведем выбор шага интегрирования h исходя из условия:
- •2.5.2 Решение систем дифференциальных уравнений методом Эйлера. Формула численного интегрирования неявного метода Эйлера имеет вид:
2.4.2 Результаты статического анализа.
Программа для расчета фазовых координат при статическом процессе в математическом пакете MathCad 13 приведена в приложении 1. Индексы массивов для простоты начинаются с 1. Для достаточной точности применяется 5 итераций. Результаты вычислений приведены в таблице 5.
Таблица 5 – Результаты статического анализа
Фазовая коорд. |
при Рн=0,25МПа |
при Рн=0,5МПа |
Q1, 10-4 м3/с |
4.328 |
11.74 |
Q2, 10-4 м3/с |
8.197 |
21.25 |
Q3, 10-4 м3/с |
12.52 |
32.99 |
Pу1, 106 Па |
0.206 |
0.231 |
2.5 Анализ динамической модели гидросистемы
Динамическая модель описывает переходный процесс гидросистемы. В общем случае система дифференциальных уравнений, описывающих гидравлическую систему, получающаяся из выражения (28), имеет вид:
(47)
где А – матрица Якоби,
- вектор фазовых координат,
- вектор-функции внешних воздействий,
- вектор функции внешних воздействий.
Для динамической модели матрицу Якоби можно сформировать на основе (28) и (32), аналогично статической модели:
(48)
Переходный процесс определяется в результате численного интегрирования системы (47), для чего необходимо произвести выбор ряда параметров.
Пусть переходный процесс оценивается как реакция системы, находящейся в состоянии покоя, на ступенчатое воздействие вида:
(49)
где u0 и uk – начальное и конечное значение функции воздействия u(t), которая в нашем случае имеет вид:
(50)
Начальные и конечные значения всех фазовых координат определены при анализе статического режима (таблица 5).
(51)
Если система устойчивая, то через некоторый промежуток времени, система перейдет из состояния V0 в состояние Vk. Для численного интегрирования будем использовать неявный метод Эйлера.
2.5.1 Выбор шага интегрирования. Для устойчивости самого метода проведем выбор шага интегрирования h исходя из условия:
, (52)
где - собственное значение матрицы Якоби.
Для комплексного значения условие имеет вид:
(53)
Собственными значениями матрицы Якоби порядка n называют корни , где , ее характеристического уравнения, определяемого по формуле:
(54)
где А – матрица Якоби динамической модели;
Е – единичная матрица.
Произведем расчет матрицы Якоби по формуле (48), подставляя начальные значения фазовых координат:
(55)
Тогда характеристическое уравнение имеет вид:
(56)
Вычислим корни характеристического уравнения с помощью программы MathCad 13, тогда собственные значения матрицы Якоби имеют вид:
Наличие комплексно-сопряженных корней дает затухающий колебательный процесс ряда фазовых координат. Для гидравлической системы рекомендуемый шаг интегрирования h=0.5 с. Выполним проверку устойчивости численного метода Эйлера при данном шаге.
Проверка условий выполняется, следовательно, шаг h=0.5с обеспечит устойчивость метода и приемлемую точность вычислений.
2.5.2 Решение систем дифференциальных уравнений методом Эйлера. Формула численного интегрирования неявного метода Эйлера имеет вид:
(57)
Совместное преобразование двух последних выражений приводит к записи:
(58)
где - модифицированная матрица Якоби на k+1 шаге, которая формируется по следующему правилу:
Диагональные элементы матрицы Якоби на k-ом шаге пересчитываются по формуле:
(59)
Остальные элементы не изменяются. Для матрицы размерности 4х4 получаем:
(60)
- модифицированный вектор входных воздействий на k+1 шаге, определяемый по формуле:
(61)
Решение системы уравнений (58) дает значение фазовых координат на k+1 шаге, то есть в момент времени tk+1.
Алгоритм неявного метода Эйлера с постоянным шагом интегрирования h:
-
задание шага интегрирования h;
-
задание начальных значений фазовых переменных при t0=0;
-
вычисление времени tk+1=tk+h, где k=0,1,2… ;
-
вычисление модифицированных матриц и на k+1 шаге;
-
решение системы уравнений (58) с целью определения в момент времени tk+1;
-
переход к этапу (3) до тех пор, пока в случае устойчивой системы фазовые координаты не достигнут состояния конечного значения .
Начальные значения вектора определяются на основании входных воздействий системы (28). В качестве начальных значений фазовых переменных берем вектор начальных значений . Листинг программы, написанной в математическом пакете MathCad 13, для определения показателей качества переходного процесса приведена в приложении 2.
(62)
2.5.3 Определение показателей качества переходного процесса. В результате вычислений программы был получен вектор значений функций фазовых переменных для переходного процесса: искомых давления и расходов. Ниже приведены графики, представляющие переходный процесс расходов в трубопроводах и давления в упругом элементе.
Рисунок 9 – Изменение расхода в гидравлической системе
Рисунок 10 – Изменение давления в гидравлической системе
Из графиков видно, что система стремиться к установившемуся состоянию cо значениями фазовых переменных Vk, следовательно система устойчива.
Изм.
Лист
№ докум.
Подпись
Дата
Лист
УИТС.404179.208
ПЗ