4.3 Решение системы дифференциального уравнения методом Эйлера

Формула численного интегрирования, неявного метода Эйлера имеет вид:

где - определяется из исходной системы дифференциальных уравнений

Совместное преобразование последних двух выражений приводит к следующей зависимости:

где модифицированная матрица Якоби, на к+1 шаге пересчитывается исходя из элементов к – ого шага по формуле:

,

а стальные элементы не изменяются.

это модифицированный вектор входных воздействий, на к+1 шаге, определяется по формулам:

Решение системы уравнений , дает значение фазовых координат на к+1 шаге, то есть в момент времени t_k+1.

Алгоритм неявного метода Эйлера с постоянным шагом h:

1. Задание шага интегрирование h.

2. Задание начальных значений при .

3. Вычисление времени .

4. Вычисление матрицы и на к+1шаге.

5. Решение системы уравнений , с целью определения на временном участке t_k+1.

Получили:

4.4 Определение показателей качества переходного процесса

На рисунке 4 изображены показатели качества гидравлической системы, а на рисунке 5 изображен переходный процесс.

Рисунок 4 – Показатели качества системы

Рисунок 5 – Переходный процесс в гидросистеме

По графикам 4 и 5 видно, что при внешних воздействиях на гидросистему происходит колебательный переходный процесс, в результате которого система переходит из одного установившегося состояния в другое. Установившееся состояние данной гидравлической системы заключается в устойчивых автоколебаниях фазовых координат.

Приложение а

Результаты статического анализа при

Шаг 1

Шаг 2

Шаг 3

Шаг 4

Шаг 5

Шаг 6

За конечные значения принимаем вектор V:

Результаты статического анализа при

Шаг 1

Шаг 2

Шаг 3

Шаг 4

Шаг 5

Шаг 6

Шаг 7

Шаг 8

Шаг 9

За конечные значения принимаем вектор V:

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

Нахождение корней собственного значения матрицы Якоби

ПРИЛОЖЕНИЕ В

Метод Эйлера

62