2.2.3 Матрица инциденций
Информация о математической модели гидросистемы, которую содержит орграф, представлена в виде матрицы инцидентности, сформированной по следующим правилам:
-
Размерность матрицы:
-
Число строк соответствует каждому узлу орграфа за исключением базы;
-
Число столбцов соответствует ветвям орграфа.
-
Элементы матрицы:
-
Отсутствие связи между узлом и ветвью «0»
-
Если ветвь входит в узел «+1»
-
Если ветвь исходит из узла «-1».
Источник потока Q1* формально заменяется на источник потенциала P1* и добавляется условная масса m1*.
Матрица инцидентности
|
Узел |
Ветви |
|||||||||||||||||||||
|
Инерционные |
Диссипативные |
Упругие |
Источники потенциалов |
|||||||||||||||||||
|
m1 |
m2 |
m3 |
m4 |
m5 |
m*1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
c1 |
c2 |
Рв1 |
Рв2 |
Рв3 |
Рв4 |
0 |
Р*в1 |
|||
|
1 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
2 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
3 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
||
|
4 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
||
|
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
-1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
|
1* |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
||
2.3 Узловой метод формирования математической модели гидросистемы
Применим модифицированный узловой метод, согласно которому для гидросистемы математическая модель имеет вид:
(1)
(2)
где
(3)
На основании матрицы инцидентности выпишем следующие подматрицы АУ, АД, АИ,АВ.
Матрицы потенциалов источников РВ, РУ, РД компонентов:
Матрица фазовых переменных типа потока Q:
Вычислим матричное произведение слагаемых правой части:
Сложим полученные матрицы с уравнением (1):
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
Учитывая,
что
,
а
,
следовательно
,
то вместо последнего уравнения системы
(8) имеем:
(10)
Уравнения, необходимые для определения РУ и РД получим, вычислив матричные произведения в выражениях (2) и (3):
(11)
(12)
Таким образом, матричная модель рассматриваемой гидравлической системы представляется системой обыкновенных дифференциальных уравнений (4), (5), (6), (7), (8), (9), (11),(12) и алгебраическими выражениями (10).
Компонентные уравнения диссипативных элементов носят более сложный характер. При этом выделяют линейные и нелинейные потери в гидромагистралях и уравнения записываются в следующем виде:
(13)
где
- коэф. гидравлического сопротивления,
характеризующий линейные потери при
ламинарном движении жидкости;
- коэф.
гидравлического сопротивления,
характеризующий нелинейные потери
при турбулентном движении жидкости (по
длине и местные).
Определение параметров элементов модели гидравлической системы
Площадь
сечения магистрали:
(14)
[
м
]
[ м
]
[ м
]
[
м
]
[ м
]
[ м
]
Объем участка трубопровода:
(15)
[
м
]
[ м
]
[ м
]
[
м
]
[ м
]
[
м
]
Доля объема участка трубопровода:
(16)
Коэффициент массы:
(17)
[
кг/м
]
[ кг/м
]
[ кг/м
]
[
кг/м
]
[
кг/м
]
[
кг/м
]
Коэффициент линейных гидравлических потерь:
(18)
Коэффициент нелинейных гидравлических потерь:
(19)
Коэффициент жесткости трубопровода:
(20)
[Па]
[Па]
[Па]
[Па]
[Па]
[Па]
Общий коэффициент жесткости при разветвлении трубопровода находится по формуле:
(21)
[Па]
[Па]