2.4 Расчет статической модели гидросистемы

При постоянных внешних воздействиях система находится в установившемся состоянии. Ее фазовые координаты при этом постоянны. Такой режим функционирования системы называют статическим. Статическое состояние гидросистемы достигается при постоянстве внешних воздействиях:

подача насоса , давления в потребителях .

При этом устанавливаются постоянные значения фазовых координат системы:

1 Расхода жидкости в гидромагистралях ;

2 Давления в упругих элементах , полагая, что , и .

Получим следующую систему нелинейных алгебраических уравнений:

(22)

С учетом уравнения (19) преобразуем систему к следующему виду:

(23)

Система уравнений (23), является статической моделью гидросистемы, где в правой части уравнений известно значение входных значений. Для ее решения, используют различные численные методы, для которых необходимо предварительно составить матрицу Якоби.

Формирование матрицы Якоби в статической модели гидросистемы

Матрица Якоби характеризует важнейшие свойства физической системы, а так же свойства уравнений математической модели, модель статического состояния гидросистемы, представляет собой систему нелинейных алгебраических уравнений вида: . Элементами матрицы Якоби в этом случаи, являются частные производные от нелинейной вектор функции по фазовым координатам системы . Для системы седьмого порядка матрица Якоби имеет вид:

(24)

В системе уравнений (30) нелинейной является функция , для них частные производные имеют вид:

(25)

Решение систем уравнений статической модели методом Ньютона

Из различных численных методов, систем алгебраических уравнений используем метод Ньютона, который обладает наибольшей скоростью сходимости. Алгоритм включает следующие этапы:

1) выбор начального приближения

(26)

2) вычисление матрицы Якоби в точке

3) вычисление вектора невязок , исходной системы алгебраических уравнений:

(27)

4) Определение вектора поправок по формуле:

5) Определение нового приближения вектора искомых фазовых переменных, по формуле:

6) Вычисление нормы вектора невязок:

(28)

7) Проверка условий окончания итерационного процесса

При выполнении условия, процессы останавливаются, и в качестве точки расширения применяется вектор , иначе осуществляется переход и итерация продолжается.

Расчет произведен с помощью Matcad и представлен в приложении А.

В таблице 5 представлены результаты расчетов значений фазовых координат для двух значений подачи насоса.

Результаты статического анализа

Фазовые координаты
, (м^3/с)
, (м^3/с)
, (м^3/с)
, (м^3/с)
, (м^3/с)
, (Па)
, (Па)