3. Задания на контрольную работу и указания к её выполнению

В контрольную работу включены четыре задачи. Номера вариантов каждой задачи определяются по двум последним цифрам шифра зачетной книжки из табл.1.

Таблица 1

Предпоследняя	Последняя цифра шифра
цифра шифра	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	2 11 26 31	5 14 25 34	9 15 24 39	1 13 27 32	6 17 30 34	3 11 29 33	10 15 23 40	4 16 22 38	9 12 28 33	5 15 21 39
1	4 18 21 40	1 16 30 35	3 11 22 37	9 20 29 34	5 12 23 37	9 16 27 32	7 19 28 35	8 14 25 31	6 17 24 31	1 19 26 37
2	9 13 22 35	6 20 26 37	2 17 21 38	7 19 23 32	3 14 29 38	8 18 27 36	2 12 24 39	10 18 28 34	1 13 30 36	4 11 25 31
3	1 16 27 31	4 12 24 39	7 19 30 33	9 11 22 38	5 15 28 31	8 11 26 35	1 15 23 40	9 12 21 36	4 12 29 33	2 20 25 36
4	7 20 23 40	2 19 21 33	8 14 29 37	5 15 25 35	8 18 27 40	4 19 24 32	10 20 28 36	5 15 26 40	9 20 22 31	7 18 30 38
5	6 19 23 33	10 17 28 31	2 13 26 37	8 16 21 39	1 20 25 34	2 14 29 40	7 12 24 36	1 20 30 38	6 19 22 40	3 16 27 32
6	3 12 25 40	5 15 27 36	10 20 23 33	4 18 29 36	6 13 22 39	10 15 28 32	4 17 24 35	10 19 30 39	7 11 26 37	9 12 21 40
7	8 14 30 34	2 18 25 32	6 12 21 38	10 14 26 37	8 19 28 32	3 11 27 35	7 18 23 39	6 13 24 32	8 18 29 34	6 17 22 35
8	6 17 28 32	10 13 22 35	4 16 29 37	7 17 23 34	2 14 26 35	5 17 30 38	1 16 25 33	8 15 27 38	9 16 21 37	3 13 24 31
9	3 11 21 36	7 14 23 31	3 18 27 39	5 12 24 33	10 16 29 38	4 20 25 34	6 13 30 36	3 17 22 34	8 11 28 33	1 14 26 40

З а д а ч а 1. Для заданной в табл.2 логической функции F(x,y,z) выполнить следующие действия:

1) построить множество истинности;

2) составить таблицу истинности функции;

3) составить логическую схему, соответствующую заданной функции в базисе И,ИЛИ,НЕ.

Таблица 2

Вар.	F(x,y,z)	Вар.	F(x,y,z)
1	(x+)z	6
2	z+	7
3	y(+z)	8
4	+x	9
5	x+y	10

У к а з а н и е. Множество истинности строится в виде диаграммы Эйлера-Венна. В прямоугольнике универсального множества изображаются три взаимно пересекающихся исходных множества истинности каждой логической переменной (сами множества, а не их дополнения!). Над диаграммой указывается аналитическая запись множества истинности заданной логической функции. Например, для функции множество истинности будет . Построение множества истинности для функции трех переменных осуществляется в два этапа. На первом этапе находится и штрихуется множество для двух переменных. На втором - штрихуется в другую сторону множество с учётом третьей переменной. Результирующее множество обводится жирной линией.

З а д а ч а 2. Для заданной в табл.3 логической функции F(a,b,...x,y,z) произвести упрощение методом равносильных преобразований, используя основные законы и тождества алгебры логики. Полученный результат представить в виде логической схемы в трёх вариантах:

1) с наименьшим количеством стандартных логических элементов;

2) в базисе И-НЕ;

3) в базисе ИЛИ-НЕ.

У к а з а н и е. Упрощение логической функции рекомендуется начинать с применения закона поглощения – это чаще всего скорейший путь получения требуемого результата.

Таблица 3

Вар	Логическая функция
11
12
13
14
15	]
16
17
18
19
20

Для каждой из схем должна быть записана соответствующая математическая модель в виде логической функции. Уменьшение количества задействованных логических элементов в п.1 возможно введением в упрощенную формулу, выраженную через простейшие логические операции И, ИЛИ и НЕ, более сложных элементарных логических функций (неравнозначности, эквивалентности, импликации и запрета), каждая из которых представлена одним логическим элементом. В п.п. 2 и 3 перед составлением схемы формула упрощенной логической функции преобразуется и записывается в соответствующем базисе (кроме единственной операции базиса никаких других операций – например, инверсии – в формуле не должно оставаться!).

З а д а ч а 3. Для функции, приведенной в табл.4, выполнить следующие действия:

1) представить функцию в базисе И,ИЛИ,НЕ;

2) найти СДНФ функции;

3) найти СКНФ функции.

У к а з а н и е. В п.1 входящие в формулы элементарные логические функции заменяются равносильными представлениями в базисе И,ИЛИ,НЕ. Полученные выражения преобразуются и упрощаются в соответствии с законами и тождествами алгебры логики для нахождения ДНФ и КНФ функции. В п.п. 2 и 3 эти ДНФ и КНФ преобразуются в СДНФ и СКНФ функций. Синтез СДНФ и СКНФ по составленной таблице истинности функции допускается только для проверки полученных ранее выражений.

Таблица 4

Вар	Логическая функция	Вар.	Логическая функция
21		26
22		27
23		28
24		29
25		30

З а д а ч а 4. Для логической функции F(x,y,z), заданной таблицей истинности (см.табл.5), выполнить следующие действия:

1) составить логические формулы в виде СДНФ и СКНФ;

2) показать равносильность полученных выражений, упростив полученные СДНФ и СКНФ;

3) найти минимизированные формулы логической функции в виде ДНФ и КНФ с использованием метода карт Карно.

Таблица 5

Наборы переменных			Номер варианта
х	y	z	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
0	0	0	0	1	0	0	1	1	1	0	1	0
0	0	1	0	0	1	0	1	0	0	1	0	0
0	1	0	1	0	1	1	1	1	0	0	1	0
0	1	1	0	0	1	1	1	1	0	1	1	0
1	0	0	0	1	0	0	0	0	1	0	0	0
1	0	1	0	0	0	0	1	0	1	1	0	1
1	1	0	1	1	1	1	0	0	1	0	1	1
1	1	1	1	0	1	0	0	0	1	0	1	1

У к а з а н и е. Проверку равносильности совершенных нормальных форм функции проводят преобразованием СКНФ в СДНФ или наоборот. Можно также обе формы преобразовать в одно и то же выражение.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Основная литература

1. Жмурин Д.Н. Математические и информационные основы теории цифровых систем: Уч. пособие, Ч.1. Теоретико-множественное описание и логический синтез цифровых систем. / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т. Новочеркасск: ЮРГТУ, 2002.-63 с.

Дополнительная литература

2. Пухальский Г.И., Новосельцева Т.Я. Цифровые устройства: Уч. пособие для втузов.  С.Пб.: Политехника, 1996.  885 с.

3. Горбатов В.А. Основы дискретной математики: Уч. пособие.  М.: Высш. шк., 1986. 312 с.

3. Коршунов Ю.М. Математические основы кибернетики.  М.: Энергоатомиздат,1987. 496 с.

4. Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженера.  М.: Энергия, 1980.  344 с.

Учебное издание

Дмитрий Николаевич Жмурин

Математические основы теории цифровых систем: Программа, методические указания и контрольные задания для студентов-заочников специальности 21010665 «Промышленная электроника

Редактор ………………………….

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ЛР №020417. 12.02.97

Темплан 2006г. . Подписано в печать ………..

Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Печать оперативная.

Печ.л. 0,7. . Уч.-изд.л. 0,75. Тираж 50 экз. Заказ

Южно-Российский государственный технический университет

Редакционно-издательский отдел ЮРГТУ

Адрес университета: 346428, г. Новочеркасск, ул. Просвещения, 132.