Тема: Системы линейных уравнений и методы их решения.

Теретическая часть

Система линейных алгебраических уравнений имеет вид:

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + а₁₃х₃ = в₁

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + а₂₃х₃ = в₂

а₃₁х₁ + а₃₂х₂ + а₃₃х₃ = в₃

Это система трех уравнений с тремя неизвестными х₁, х₂, х₃. Вещественные числа а_ij (i = , j = ) называются коэффициентами системы. в₁, в₂, в₃ – свободные члены. Если хотя бы одно из чисел в₁, в₂, в₃, отлично от нуля, система называется неоднородной. Если все свободные члены равны нулю, то система имеет вид:

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + а₁₃х₃ = 0

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + а₂₃х₃ = 0

а₃₁х₁ + а₃₂х₂ + а₃₃х₃ = 0 и называется однородной.

Системы решаются одним из следующих способов: 1) методом Гаусса, или методом исключения неизвестных; 2) по формулам Крамера; 3) матричным методом.

Метод Гаусса

Исторически первым, наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.

Пример 1. Решить систему уравнений методом Гаусса:

x + y - 3z = 2,

3x - 2y + z = - 1,

2x + y - 2z = 0.

Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы

и произведем следующие элементарные преобразования над ее строками:

а) из ее второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 3 и 2:

~ ;

б) третью строку умножим на (-5) и прибавим к ней вторую:

.

В результате всех этих преобразований данная система приводится к треугольному виду:

x + y - 3z = 2,

-5y + 10z = -7,

- 10z = 13.

Из последнего уравнения находим z = -1,3. Подставляя это значение во второе уравнение, имеем y = -1,2. Далее из первого уравнения получим x = - 0,7.

По формуле Крамера решаются только неоднородные системы.

Определитель системы Δ называется определитель, составленный из коэффициентов системы:

Δ =

Если определитель системы Δ не равен 0, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам:

Х₁ = Δх₁/ Δ; х₂== Δх₂/ Δ; х₃== Δх₃/ Δ; где

Δх₁= ; Δх₂= ; Δх₃= .

Если определитель системы = Δ равен нулю, и хотя бы один из определителей ∆х₁=∆х₂=∆х₃ отличен от нуля, то система несовместна.

Если определитель системы ∆=0, и ∆х₁=∆х₂=∆х₃=0, то система имеет бесконечное множество решений. (неопределенная система).

Пример 2. Решить систему уравнений:

Х + 2у – z = 1

-3х + у = 2z = 0

х + 4у + 3z = 2

1. Вычислим определитель системы ∆ = = 1*1*3+2*2*1+(-1)*4*(-3) – (1*1*(-1)+4*2*1+3*2*(-3))=3+4+12 – (-1 + 8 – 18) = 19+11 = 30.

Система имеет единственное решение, т.к. определитель ∆ = 30 ≠ 0.

2. Вычислим определители ∆х, ∆у, ∆z.

∆х = = 5; ∆у = = 13; ∆z = = 1.

3. По формулам Крамера находим решение системы:

Х = ∆х/∆ = 5/30 = 1/6; у = ∆у/∆ = 13/30; z = ∆z/∆ = 1/30;

Ответ: решение системы (1/6; 13/30; 1/30).

По формулам Крамера можно решить систему n линейных уравнений с n неизвестными.

Пример 3 Решить систему уравнений двумя методами.

х - у+z=1

х + у – z=2

5х + у – z=7

1. Составим и вычислим определитель системы ∆= = 0.

2. Вычислим определители ∆х, ∆у, ∆z.

∆х = = 0, ∆у = = -2

Т.к. определитель ∆у= -2 ≠ 0, мы делаем заключение: Система несовместна, т.е. она не имеет решения.