Практическая часть

1. Игральная кость брошена 3 раза. Какова вероятность то­го, что при этом все выпавшие грани различны?

2.На 6 одинаковых карточках написаны буквы “а”, “в”, “к”, “М”, “о”, “с”. Эти карточки наудачу разложены в ряд. Какова вероятность того, что получится слово “Москва”?

3.В урне 4 белых и 2 черных шара. Из этой урны наудачу извлечены 2 шара. Какова вероятность того, что эти шары разного цвета?

4.В урне 6 белых и 4 черных шара. Из этой урны наудачу извлекли 5 шаров. Какова вероятность того, что 2 из них белые, а 3 черные?

5.Какова вероятность того, что в написанном наудачу трех­значном числе 2 цифры одинаковы, а третья отличается от них?

6.В некоторый день недели во всех классах школы должно быть по 6 уроков. В этот день случайным образом ставятся в рас­писание 3 урока одного учителя и 2 урока другого. Какова вероят­ность того, что эти учителя не будут одновременно заняты?

7.10 человек случайным образом рассаживаются на десяти­местную скамейку. Какова вероятность того, что 2 определенных лица окажутся рядом?

8.В урне 10 шаров, из которых 2 белых, 3 черных и 5 синих. Наудачу извлечены 3 шара. Какова вероятность того, что все 3 шара разного цвета?

9.В классе 40 учеников, из которых 10 отличников. Класс наудачу разделен на 2 равные части. Какова вероятность того, что в каждой части по 5 отличников?

10.На 10 карточках написаны буквы “а”, “а”, “а”, “м”, “м”, “т”, “т”, “е”, “и”, “к”. После тщательного перемешивания карточки раскладываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово “математика”?

11.Полная колода карт (52 листа) делится наугад на 2 равные части (по 26 карт). Найдите вероятности следующих событий:

А — в каждой части окажется по 2 туза;

В — в одной из частей не будет ни одного туза;

С — в одной из частей будет ровно один туз.

12.Из колоды в 36 карт наудачу извлекаются 3 карты. Опре­делите вероятность того, что сумма очков в этих картах равна 21, если валет составляет 2 очка, дама – 3, король – 4, туз- 11, а остальные карты -соответственно 6, 7, 8, 9, 10 очков.

13.Автобусу, в котором 15 пассажиров, предстоит сделать 20 остановок. Предполагая, что все возможные способы распределения пассажиров по остановкам равно возможны, найдите вероятность того, что никакие 2 пассажира не выйдут на одной остановке.

14.Из полной колоды карт (52 листа) извлекают сразу не­сколько карт. Сколько карт нужно извлечь для того, чтобы с ве­роятностью, большей, чем 0,5, утверждать, что среди них будут карты одной и той же масти?

15.10 рукописей разложены по 30 папкам (одна рукопись занимает 3 папки). Найдите вероятность того, что в случайно вы­брошенных 6 папках не содержится целиком ни одной рукописи.

Тема: Понятие о выборочном методе, генеральная и выборочная совокупность.

Теоретическая часть

Статистика– это научное направление,объединяющее принципы и методы работы с числовыми данными, характеризующими массовые явления.

Основные определения:

Определение. Всю совокупность объектов, подлежащих изучению,называют генеральной совокупностью.

Генеральной совокупностью могут быть всё население страны, месячная продукция завода, популяция рыб,живущих в данном водоёме и т.д.

Но генеральная совокупность -это не просто множество. Если интересующая нас совокупность объектов слишком многочисленна, или объекты труднодоступны, или имеются другие причины, не позволяющие изучить все объекты, прибегают к изучению какой-то части объектов.

Определение. Та часть объектов, которая попала на проверку,исследование и т.п., называется выборочной совокупностью или просто выборкой.

Определение. Число элементов в генеральной совокупности и выборке называется их объёмами.

Как добиться, чтобы выборка наилучшим образом представляло целое, т.е. была бы репрезентативной?

Если целое, т.е. если генеральная совокупность нам мало известна или совсем неизвестна, не удаётся предложить ничего лучшего, чем чисто случайный выбор. Большая осведомлённость позволяет действовать лучше, но всё равно на некоторой стадии наступает незнание и, как результат – случайный выбор.

Но как осуществить чисто случайный выбор? Как правило, отбор идёт по легко наблюдаемым признакам, ради изучения которого ведётся исследование.

Нарушение же принципов случайного выбора приводило к серьезным ошибкам. Стал знаменитым своей неудачей опрос, проведённый американским журналом “Литературное обозрение” относительно исхода президентских выборов в 1936 году. Кандидатами на этих выборах были Ф.Д.Рузвельт и А.М. Ландон.

Кто победил?

В качестве генеральной совокупности редакция использовала телефонные книги. Отобрав случайно 4миллиона адресов, она разослала открытки с вопросами об отношении к кандидатам в президенты по всей стране. Затратив большую сумму на рассылки и обработку открыток, журнал объявил, что на предстоящих выборах в президенты с большим перевесом победит Ландон. Результат выборов оказался противоположенным этому прогнозу.

Здесь были совершенны сразу две ошибки. Во-первых, телефонные книги не дают репрезентативную выборку из населения США – в основном зажиточные главы семейств. Во-вторых, прислали ответы не все люди, а в значительной части представители делового мира, которые и поддерживали Ландона.

В то же время социологи Дж.Гэллан и Э. Уорнер правильно предсказали победу Ф.Д. Рузвельта, основываясь только на четырёх тысячах анкетах. Причиной этого успеха было не только правильное составление выборки. Они учли, что общество распадается на социальные группы, которые более однородны по отношению к кандидатам в президенты. Поэтому выборка из слоя может быть относительно малочисленной с тем же результатом точности. Победил в итоге Рузвельт, который был сторонником реформ для менее богатых слоёв населения.

Имея результаты обследования по слоям, можно характеризовать общество в целом.

Что представляют собой выборки?

Это ряды чисел.

Более подробно остановимся на основных понятиях, характеризующих ряд выборки.

Из генеральной совокупности извлечена выборка объёмом n> n₁, где n₁– столько раз наблюдалось появление x₁, n₂ - x₂и т.д.

Наблюдаемые значения х_i называют вариантами,а последовательность вариантов, записанных в возрастающем порядке - вариационным рядом. Числа наблюдений n_i называют частотами и n_i/n - относительными частотами (или частостями).

Определение. Различные значения случайной величины называются вариантами.

Определение. Вариационным рядом называется ряд,расположенный в порядке возрастания (или убывания) вариантов с соответствующими им частотами (частостями).

При изучении вариационных рядов наряду с понятиями частоты используется понятие накопленной частоты.Накопленные частоты (частости) для каждого интервала находятся последовательным суммированием частот всех предшествующих интервалов.

Определение.Накопление частот или частостей называют кумуляцией.Кумулировать можно частоты вариант и интервалов.

Характеристики ряда могут быть количественные и качественные.

Количественные (вариационные) характеристики – это характеристики, которые можно выразить числами. Их подразделяются на дискретные и непрерывные.

Качественные (атрибутивные) характеристики – это характеристики, которые не выражаются числами.

Непрерывные переменные – это переменные, которые выражаются действительными числами.

Дискретные переменные – это переменные, которые выражаются только целыми числами.

Выборки характеризуются центральными тенденциями: средним значением, модой и медианой. Средним значением выборки называют среднее арифметическое всех её значений. Мода выборки – те её значения, которые встречаются чаще всего. Медиана выборки – это число,“разделяющее” пополам упорядоченную совокупность всех значений выборки.

Вариационный ряд может быть дискретным или непрерывным.

Задача Дана выборка: 1,3; 1,8; 1,2; 3,0; 2,1; 5; 2,4; 1,2; 3,2;1,2; 4; 2,4.

Это ряд вариантов. Расположив эти варианты в возрастающем порядке, мы получим вариационный ряд: 1,2; 1,2; 1,2; 1,3; 1,8; 2,1; 2,4; 2,4; 3,0; 3,2; 4; 5.

Среднее значение этого ряда равно2,4.

Медиана ряда 2,25.

Мода ряда –1,2.

Дадим определения этим понятиям.

Определение. Медианой вариационного ряда называется то значение случайной величины, которое приходится на средину вариационного ряда (Ме).

Медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине. Медианой произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего упорядоченного ряда.

Определение. Модой вариационного ряда называют вариант(значение случайной величины), которому соответствует наибольшая частота (Мо),т.е. которая встречается чаще других.

Определение. Среднеарифметическим значением вариационного ряданазывается результат деления суммы значений статистической переменной на число этих значений, то есть на число слагаемых.

Правило нахождения среднеарифметического значения выборки:

1. каждую варианту умножить на её частоту (кратность);

2. сложить все полученные произведения;

3. поделить найденную сумму на сумму всех частот.

Определение. Размахом ряда называется разность между R=x_max-x_min, т.е. наибольшим и наименьшим значениями этих вариантов.

Проверим, правильно ли мы нашли среднее значение этого ряда, медиану и моду, опираясь на определения.

Сосчитали число членов, их 12 -чётное число членов, значит надо найти среднее арифметическое двух чисел записанных посередине, то есть 6 и 7-ой варианты. (2,1+2,4)\2=2.25 – медиана.

Мода. Модой является 1.2, т.к.только это число встречается 3 раза, а остальные встречаются меньше, чем 3раза.

Среднеарифметическое значение находим так:

(1,2*3+1,3+1,8+2,1+2,4*2+3,0+3,2 +4+5)\12=2,4

Составим таблицу

xi	1,2	1,3	1,8	2,1	2,4	3,0	3,2	4	5
ni	3	1	1	1	2	1	1	1	1
ni/n	3/12=1/4	1/12	1/12	1/12	2/12	1/12	1/12	1/12	1/12

Такие таблицы называют частотными.В них числа второй строки – частоты; они показывают, как часто встречаются в выборке те или другие её значения.

Определение. Относительной частотой значений выборки называют отношение её частоты к числу всех значений выборки.

Информация к размышлению

Среднее арифметическое – это условная величина. Реально она не существует. Реально существует общая сумма. Поэтому среднее арифметическое не есть характеристика одного наблюдения; она характеризует ряд в целом.

Среднее значение можно трактовать как центр рассеивания значений наблюдаемого признака, т.е. значения, около которого колеблются все наблюдаемые значения,причём алгебраическая сумма отклонений от среднего, всегда равна нулю, т.е.сумма отклонений от среднего в большую или меньшую сторону равны между собой.

Среднее арифметическое является абстрактной (обобщающей) величиной. Даже при задании ряда только из натуральных чисел, среднее значение может выражаться дробным числом. Пример: средний балл контрольной работы 3,81.

Среднее значение находится не только для однородных величин. Средняя урожайность зерновых по всей стране (кукуруза-50-60 ц. с га. и гречиха-по5-6 ц.с га, рожь, пшеница и т.д.), среднее потребление продуктов питания, средняя величина национального дохода на душу населения, средний показатель обеспеченности жильём, средний взвешенный показатель стоимости жилья, средняя трудоёмкость возведения здания и т.д. – это характеристики государства как единой народнохозяйственной системы, это так называемые системные средние.

В статистике широкое применение находят такие характеристики, как мода и медиана. Их называют структурными средними, т.к. значения этих характеристик определяются общей структурой ряда данных.

Иногда ряд может иметь две моды, иногда ряд может не иметь моды.

Мода является наиболее приемлемым показателем при выявлении расфасовки некоторого товара, которой отдают предпочтение покупатели;цены на товар данного вида, распространённый на рынке; как размер обуви,одежды, пользующийся наибольшим спросом; вид спорта, которым предпочитают заниматься большинство населения страны, города, посёлка школы и т.д.

В строительстве существует 8вариантов плит по ширине, и более часто применяются 3 вида:1 м. 1,2 м. и 1,5 м. По длине 33 варианта плит, но чаще других применяются плиты длиной 4,8 м.; 5,7 м. и 6,0 м., мода на плиты чаще всего встречается среди этих 3-х размеров. Аналогично можно рассуждать и с марками окон.

Моду ряда данных находят тогда, когда хотят выявить некоторый типичный показатель.

Мода может быть выражена числом и словами, с точки зрения статистики мода – это экстремум частоты.

Медиана позволяет учитывать информацию о ряде данных, которую даёт среднее арифметическое и наоборот.