Числовые ряды

Пусть и₁, и₂, … , и_n, …, где и_n= f(n) – бесконечная числовая последовательность. Выражение

и₁+ и₂+ и₃ + …+ и_n+ …

называется бесконечным числовым рядом, а числа и₁, и₂ , … , и_n – членами ряда ; и_n = f(n) – называется общим членом. Ряд часто записывают в виде:

Перечислим важнейшие признаки сходимости и расходимости рядов с положительными членами.

Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд и₁+ и₂+ и₃ + …+ и_n+ … сходится, то т.е. при n→∞ предел общего члена сходящегося ряда равен нулю. Таким образом, если то ряд расходится.

Первый признак сравнения. Пусть даны два ряда

и₁+ и₂+ и₃ + …+ и_n+ … (1)

σ₁+ σ₂+ σ₃ + …+ σ_n+ …, (2)

причем каждый член ряда (1) не превосходит соответствующего члена ряда (2), т.е. и_n≤ σ_n (n = 1, 2, 3, …). Тогда если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1); если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2).

Второй признак сравнения. Если существует конечный и отличный от нуля предел то оба ряда и одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Признак Коши. Если для ряда (1) существует то этот ряд сходится при С < 1 и расходится при С > 1.

Признак Даламбера . Если для ряда (1) существует то этот ряд сходится при Д <1 и расходится при Д >1.

Интегральный признак. Если f(x) при х ≥ 1 – непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция, то ряд , где и_n=f(n), сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится интеграл (N ≥1).

Знакопеременные ряды

Ряд, члены которого имеют чередующиеся знаки, называют знакочередующимися:

и₁- и₂+ и₃ – и₄+ …+(-1)ⁿ⁺¹ и_n+ …,

где u_n>0 (n = 1, 2, 3, …).

Признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница).

Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютная величина его членов монотонно убывает, а общий член стремится к нулю, т.е. если выполняется следующее условие:

1) и₁> и₂> и₃ > …

и

2)

Пример 1. Исследовать сходимость числового ряда;

а)

б)

Решение

а) применим признак Даламбера. Выпишем n-ый и (n + 1) – ый члены ряда:

Тогда

и данный ряд сходится.

б) Применим интегральный признак: ; следовательно, - непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция при х ≥ 1 и

Данный интеграл – сходящийся, поэтому сходится и исследуемый ряд.

Функциональные и степенные ряды

Пример 2. Найти область сходимости степенного ряда:

Решение

а) Данный степенной ряд можно записать так:

Применяем признак Даламбера и ищем предел:

Как видно, ряд будет сходиться для тех значений х, для которых

Таким образом, интервал сходимости данного ряда (-2; 2). Граничные точки интервала сходимости х = 2, для которых Д = 1 и признак Даламбера не решает вопроса о сходимости ряда, и исследуется особо.

При х = -2, получим числовой знакочередующийся ряд для которого выполняются все условия признака Лейбница: и Следовательно ряд сходится. При х = 2, получим гармоничный ряд который расходится.

Следовательно, областью сходимости данного ряда является полуоткрытый интервал:

-2 ≤ х < 2

б) Здесь Применим признак Коши, находя предел:

при любом х ≠ 0.

Следовательно, заданный степенной ряд расходится при всех значениях х ≠ 0 и сходится только при х = 0.

Пример 3. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.

Решение

Предварительно представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Используя известное разложение в степенной ряд функции sin x, имеем:

Получен знакочередующийся ряд, который удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как в этом ряде четвертый член по абсолютному значению меньше 0,001, то ограничимся только первыми тремя членами. Итак,

Пример 4. Найти первые три (отличные от нуля) члена разложения в ряд Маклорена функции у(х), являющейся частным решением дифференциального уравнения у΄ = х + х²-у²+ cos x, если у(0)=1.

Решение

Положим, что у(х) является решением данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях. Если функцию у(х) можно разложить в ряд Маклорена, то

(1)

Свободный член разложения (1), т.е у(0), дан по условию. Чтобы найти значения у΄(0), у΄΄(0),

у΄΄΄(0), …, можно данное уравнение последовательно дифференцировать по переменной х и затем вычислить значения производных при х=0.

Значение у΄(0) получаем, подставив начальные условия в данное уравнение:

Подставив найденные значения производных при х=0 в (1), получим разложение искомого частного решения заданного уравнения:

или