- •Высшая математика методические указания и контрольные задания
- •Задания для контрольных работ по математике для студентов заочной формы обучения
- •Указания к выполнению контрольной работы №1 Примеры решения задач.
- •I. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- •Подставим в (3) данные векторы 1, 2, 3, 4 , получим
- •Применяя формулу (1), получим
- •Если определитель системы уравнений то такая система уравнений имеет одно определенное решение, получаемое по формулам
- •Ιι. Введение в матаматический анализ
- •III. Производная и ее приложения
- •Формула Тейлора
- •IV. Функции нескольких переменных
- •V. Неопределенный и определенный интегралы.
- •Определенный интеграл
- •Числовые ряды
- •Знакопеременные ряды
- •Функциональные и степенные ряды
- •Ряды Фурье
- •Уравнение математической физики Решение уравнения колебания струны методом характеристик (методом Даламбера)
- •Элементы операционного исчисления
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Контрольные задания
III. Производная и ее приложения
Основные правила и формулы дифференцирования:
-
y = c, где c=const, .
-
y = x, y'=1.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
- это правило дифференцирования сложной функции.
Пример 1. Найти производные данных функций
а) ; б) ;
в) ; г) <1;
д) ; е) .
Решение:
а) Применяя правило дифференцирования дроби и формулы (3); (16), имеем
б) Последовательно применяя правило дифференцирования сложной функции, правила и формулы дифференцирования, имеем:
в)
г)
д) Предварительно прологарифмируем по основанию е обе части равенства:
или .
Теперь дифференцируем обе части, считая lny сложной функцией от переменной x.
откуда
.
е) В данном случае зависимость между аргументом х и функцией у задана уравнением, которое не разрешено относительно функции у. Чтобы найти производную y', надо продифференцировать по х обе части заданного уравнения, считая при этом у функцией от х , а затем полученное уравнение решить относительно искомой производной y'. Имеем:
Из полученного равенства, связывающего х, у и y', находим производную y':
откуда
Пример 2. Найти производную второго порядка :
а)
б)
в)
Решение: а) Функция у задана в неявном виде. Дифференцируем по х обе части заданного уравнения, считая при этом у функцией от х:
откуда (1)
Снова дифференцируем по х обе части равенства (1):
(2)
Заменив y' в (2) правой частью (1), получим
.
б) Найдем первую производную данной функции
.
Найдем производную от первой производной, получим вторую производную функции :
в) Зависимость между переменными х и у задана параметрическими уравнениями. Чтобы найти производную y', находим сначала дифференциалы dy и dx и затем берем отношение этих дифференциалов:
Тогда
Производная второго порядка . Значит, чтобы найти y'',надо найти дифференциал dy':
Тогда
Формула Тейлора
(1)
С ее помощью можно вычислить приближенные значения функции f(x), если известны значения этой функции и ее производных до порядка n в «начальной» точке x=a и если, кроме того, удается оценить остаточный член Rn. Если
, то (2)
(3)
с погрешностью α0.
Для оценки погрешности формулы (3) чаще всего используется запись остаточного члена Rn в форме Лагранжа:
И
, где ξ лежит между точками а и х. (4)
Пример 3. Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в формуле Лагранжа, вычислить е0,1 и е0,2 с точностью 0,001.
Решение: Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для функции f(x)=ex имеет вид:
где
Отсюда получим:
Значения х1 = 0,1 и х2 = 0,2 принадлежат отрезку [0;½],следовательно, 0<θx<0,5 и еθx<e0.5<2;
Требуется определить n так, чтобы выполнялось неравенство Rn<0,001 и х = 0,1.
Положим х = 0,1 и вычислим несколько первых членов разложения, сравнивая их с заданной точностью α = 0,001:
u0=1=1,0000>α,
Итак, для вычисления е0,1 с α=0,001 достаточно взять первые 4 слагаемых.
е0,1≈1+0,1+0,005+0,0002≈1,1052≈1,105.
Полагая х=0,2 аналогично можно найти, что достаточно 5 слагаемых и е0,2≈1,221.
Пример 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у=3х-х3 на отрезке [-2;3].
Решение: Найдем производную: у' = 3-3х2=3(1-х2). Приравняв у' к нулю, находим стационарные точки: 3(1-х2)=0, т.е. х1=1 и х2=-1.
Определяем значения функции в этих точках:
f(1)=2,
f(-1)=-2.
Вычисляем значения данной функции на границах промежутка:
f(-2)=2,
f(3)=-18.
Из полученных четырех значений выбираем наибольшее и наименьшее. Итак, наибольшее значение функции на отрезке [-2;3] fнаиб = 2, а наименьшее fнаим = -18.
Пример 5. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.
Решение: Исследование функции проведем по следующей схеме:
-
Найдем область определения функции.
-
Исследуем функцию на четность и нечетность.
-
Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.
-
Исследуем функцию на непрерывность; найдем точки разрыва (если они
существуют) и установим характер разрыва.
-
Найдем асимптоты кривой у = f(x).
-
Найдем интервалы возрастания и убывания функции и ее экстремумы.
-
Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба.
Реализуем данную схему.
-
Функция определена при всех значениях аргумента х, кроме х=±2, т.е. область определения функции D(y) = (-∞;-2)U(-2;2)U(2;+∞).
-
Для установления четности или нечетности функции проверим выполнимость равенств для любых х и –х из области определения функции:
-
Если f(-x) = f(x), тогда f(x) - функция четная, т. е. ее график симметричен относительно оси Оу;
-
Если f(-x) = -f(x), тогда f(x) - функция нечетная, т. е. ее график симметричен относительно начала координат т. О(0;0).
-
Итак, , следовательно, данная функция является нечетной.
-
Для нахождения точек пересечения графика функции с осью Ох полагаем у=0; с осью Оу — х=0.
х=0; у=0.
у=0,
Т.е., график функции пересекает систему координат в т. О(0;0).
-
Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения D(у).Найдем односторонние пределы функции в указанных точках:
.
Т.о., в точках х=±2 функция имеет разрыв второго рода и прямых х = -2 и х = 2 – вертикальные асимптоты графика функции.
-
Найдем наклонные асимптоты у=kx+b, где
Т.о., наклонная асимптота имеет уравнение у = х.
-
Значение f(x0) называется максимумом функции f(x), если при любом достаточно малом h>0 выполняются условия f(x0-h)<f(x0) и f(x0+h)<f(x0). Точка х0 называется в этом случае точкой максимума функции f(x) (рис.5).
Значение f(x0) называется минимумом функции f(x), если при любом достаточно малом h>0 выполняются условия f(x0-h)>f(x0) и f(x0+h)>f(x0). Точка х0 называется в этом случае точкой минимума функции f(x) (рис. 6).
Максимум или минимум функции называется экстремумом функции.
Необходимое условие экстремума. Если функция f(x) в точке х0 имеет экстремум, то производная f'(x0) обращается в нуль или не существует.
Точка х0, в которой f'(x0)=0, называется стационарной точкой. Точки, в которых f'(x)=0 или f'(x) не существует, называются критическими точками. Не всякая критическая точка является точкой экстремума.
Функция f(x) называется возрастающей в интервале (a;b), если для любых двух точек х1и х2 из указанного интервала, удовлетворяющих неравенству х1< х2, выполняется неравенство f(x1)<f(х2).Если же f(x1)>f(х2) при х1< х2, то функция f(x) называется убывающей в интервале (a;b).
Найдем производную данной функции
Найдем критические точки:
х1=0; х2=12, х2=
х2=.
х2≠4, х≠±2 –не входят в область определения функции D(y), значит, экстремума в этих точках быть не может.
Разобьем числовую ось на 5 интервалов, составим таблицу и определим знак первой производной в каждом интервале.
х |
-∞;-2 |
-2 |
-2;-2 |
-2;2 |
2; 2 |
2 |
2;+∞ |
у'(x) |
+ |
0 |
- |
- |
- |
0 |
+ |
у(x) |
возрастает |
-3 |
убывает |
убывает |
убывает |
3 |
возрастает |
|
|
max |
|
|
|
min |
|
При переходе через точку х = -2 первая производная меняет свой знак с плюса на минус, поэтому в этой точке функция имеет максимум: уmax = у(-2)= -3.
Значит, А(-2;-3) - точка максимума.
При переходе через точку х = -2 первая производная меняет свои знаки с минуса на плюс, поэтому в этой точке функция имеет минимум: уmin = у(2)= 3. Значит, В(2;3) - точка минимума.
-
Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции.
Если f''(x)<0 в интервале (a;b), то график функции является выпуклым в этом интервале; если же f''(x)>0, то в интервале (a;b) график функции - выпуклый.
График функции у=f(х) называется выпуклым в интервале (a;b), если он расположен ниже касательной, проведенной в любой точке этого интервала (рис.7).
График функции называется вогнутым в интервале (a;b), если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала (рис.8).
Точка (х0;f(х0)) графика функции, отделяющая его выпуклую и вогнутую части, называется точкой перегиба.
Найдем вторую производную:
y''=0 при х=0 и y'' – не существует при х=±2; которые не входят в область определения функции.
Составим таблицу, разбив числовую ось на интервалы и определим знак второй производной в каждом из них:
х |
-∞;-2 |
-2;0 |
0 |
0;2 |
2;+∞ |
y''(х) |
- |
+ |
0 |
- |
+ |
у(х) |
∩ |
U |
|
∩ |
U |
На интервалах (-∞;-2) и (0;2) y''<0 и дуга кривой выпукла; на интервалах (-2;0) и (2;+∞), y''>0 и тем самым график является вогнутым.
При переходе через точку х=0 y'' меняет свой знак, поэтому х=0 - абсцисса точки перегиба. Следовательно, С(0;0) – точка перегиба графика функции.
График исследуемой функции показан на рис.9.
Дополнительные точки для построения графика:
х |
-3 |
-5 |
-1 |
-1,5 |
у |
-5,4 |
-5,6 |
-2 |