- •Высшая математика методические указания и контрольные задания
- •Задания для контрольных работ по математике для студентов заочной формы обучения
- •Указания к выполнению контрольной работы №1 Примеры решения задач.
- •I. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- •Подставим в (3) данные векторы 1, 2, 3, 4 , получим
- •Применяя формулу (1), получим
- •Если определитель системы уравнений то такая система уравнений имеет одно определенное решение, получаемое по формулам
- •Ιι. Введение в матаматический анализ
- •III. Производная и ее приложения
- •Формула Тейлора
- •IV. Функции нескольких переменных
- •V. Неопределенный и определенный интегралы.
- •Определенный интеграл
- •Числовые ряды
- •Знакопеременные ряды
- •Функциональные и степенные ряды
- •Ряды Фурье
- •Уравнение математической физики Решение уравнения колебания струны методом характеристик (методом Даламбера)
- •Элементы операционного исчисления
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Контрольные задания
Указания к выполнению контрольной работы №1 Примеры решения задач.
I. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
Пример 1. Даны векторы 1(2 ; 4 ; 3 ; 2), 2(4 ; 2 ; 2 ; 8), 3(4 ; 5 ; 8 ; 7), 4(6 ; 7 ; 5 ; 3) и (18 ; 24 ; 13 ; 6). Показать, что векторы 1, 2, 3, 4 образуют базис четырехмерного линейного пространства R4 и найти координаты вектора в этом базисе.
Решение.
Выражение х1+1+х22+…+хкк называется линейной комбинацией векторов 1, 2, …к с коэффициентами х1, х2, …хк. Любая линейная комбинация векторов линейного пространства представляет собой вектор того же пространства. Если некоторый вектор линейного пространства представлен в виде линейной комбинации векторов 1,…, к того же пространства, т.е.
(1)
то говорят, что вектор разложен по векторам 1,…к Система векторов 1, 2, …к некоторого линейного пространства называется линейно независимым, если равенство
(2)
имеет место только при нулевых значениях коэффициентов х1, х2, … , хк, если же равенство (2) выполняется и при условии, что хотя бы один из коэффициентов х1, х2, … , хк, отличен от нуля, то система векторов 1, 2, …к называется линейно зависимой.
Для векторов с заданными координатами 1(х1, y1, z1, p1), 2(x2, y2, z2, p2), 3(x3, y3, z3, p3), 4(x4, y4, z4, p4), составим определитель и вычислим его.
(3)
Подставим в (3) данные векторы 1, 2, 3, 4 , получим
Так как , то векторы линейно независимы и они образуют базис линейного пространства R4 . Для вычисления координат вектора в этом базисе составим систему линейных уравнений из координат векторов 1, 2, 3, 4 и и решим ее методом Гаусса:
*
Составим матрицу системы и преобразуем ее к треугольному виду, т.е. будем последовательно получать нули ниже главной диагонали матрицы, на которых находятся элементы 2, 2, 8, 3.
Разделим каждый элемент I строки на 2, затем полученную I строку умножим последовательно на -4; -3; -2 и сложим соответственно со II; III и IV строками, получим:
~
Разделим III строку на (-2) и поменяем ее местами со II строкой.
Новую II строку умножим последовательно на 3; -2 и сложим соответственно с III и IV строками, получим:
III строку умножим на 5, IV на 6 и сложим их, получим:
Таким образом получим матрицу ступенчатого вида, например х1, х2, х3, х4,
откуда х4 = 3, х3 = -1, х2 = 0, х1 = 2.
Решение системы * (2; 0; -1; 3) образует совокупность координат вектора в базисе 1, 2, 3, 4 , т.е. в этом базисе (2; 0; -1; 3) или = 21 -3 + 34.
Пример 2. Даны координаты вершин пирамиды А1(2; 1; 0), А2(3; -1; 2), А3(13; 3; 10), А4(0; 1; 4).
Найти: 1) длину ребра А1А2;
2) угол между ребрами А1А2 и А1А4;
3) угол между ребрами А1А4 и гранью А1 А2 А3;
4) площадь грани А1 А2 А3;
5) объем пирамиды;
6) уравнение прямой А1А2;
7) уравнение плоскости А1 А2 А3;
8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1 А2 А3 . Сделать чертеж.
Решение.
1) Расстояние d между точками А(х1, y1, z1) и В(х2, y2, z2), определяется по формуле
(1)
Подставим в (1) координаты точек А1 и А2 , находим длину ребра А1А2:
А1А2=
2) Угол между ребрами А1А2 и А1А4 равен углу φ между направляющими векторами этих ребер и . Косинус угла между двумя векторами = скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их модулей:
(2)
Координаты вектора с началом в точке А1(x1, y1, z1) и концом в точке А2(x2, y2, z2)
(3)
Применяя (3), получим (1; -2; 2), (-2; 0; 4). Применяя (1), получим модули векторов
Скалярное произведение двух векторов с заданными координатами равны сумме произведений соответствующих координат, т.е если (а1, а2, а3), (), то их скалярное произведение
(4)
Применяя (4), найдем . Следовательно,
3) Угол между ребром А1А4 и гранью А1 А2 А3 равен углу φ между направляющим вектором данного ребра и нормальным вектором плоскости А1 А2 А3 .
Уравнение плоскости, проходящей через 3 данные точки А1(х1, y1, z1) и А2(х2, y2, z2), А3(х3, y3, z3) имеет вид
(5)
Подставим в (5) координаты точек А1 А2 А3, получим:
Разложим определитель по элементам I строки:
Сократив на (-12), получим уравнение плоскости А1 А2 А3 :
2x – 4 – y + 1 - 2z = 0
2x – y - 2z – 3 = 0
Если уравнение плоскости α задано в каноническом виде Ax + By + Cz + Д = 0, то ее нормальный вектор α (А; В; С), т.е. нормальный вектор плоскости А1 А2 А3 имеет координаты (2; -1; -2). Синус угла α между вектором и плоскостью А1 А2 А3
(6)
Найдем скалярное произведение по формуле (4):
= -2 2 + 0 (-1) + 4 (-2) = - 4 – 8 = -12.