- •Высшая математика методические указания и контрольные задания
- •Задания для контрольных работ по математике для студентов заочной формы обучения
- •Указания к выполнению контрольной работы №1 Примеры решения задач.
- •I. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- •Подставим в (3) данные векторы 1, 2, 3, 4 , получим
- •Применяя формулу (1), получим
- •Если определитель системы уравнений то такая система уравнений имеет одно определенное решение, получаемое по формулам
- •Ιι. Введение в матаматический анализ
- •III. Производная и ее приложения
- •Формула Тейлора
- •IV. Функции нескольких переменных
- •V. Неопределенный и определенный интегралы.
- •Определенный интеграл
- •Числовые ряды
- •Знакопеременные ряды
- •Функциональные и степенные ряды
- •Ряды Фурье
- •Уравнение математической физики Решение уравнения колебания струны методом характеристик (методом Даламбера)
- •Элементы операционного исчисления
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Контрольные задания
Применяя формулу (1), получим
Следовательно,
4) Площадь грани А1 А2 А3 равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и . Обозначим через вектор векторное произведение векторов и, тогда площадь параллелограмма , а площадь грани
Координаты вектора найдем по формуле (3):
(11; 2; 10)
кв. ед.
5) Объем пирамиды V в шесть раз меньше объема параллелепипеда V1, построенного на трех некомпланарных векторах, и равен абсолютной величине их смешанного произведения. Вычислим смешанное произведение :
Следовательно, V1 параллелепипеда равен 144 куб. ед., а объем заданной пирамиды V = 144/6 =24 куб. ед.
6) Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки А1(х1, y1, z1) и А2(х2, y2, z2) имеет вид
(7)
Подставив в (7) координаты точек А1 и А2, получим
7) Уравнение плоскости А1А2А3 – это уравнение грани А1А2А3, которое найдено в п.3:
А1А2А3 : 2х – у – 2z – 3 = 0
8) Уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3 – это перпендикуляр А4Д. Каноническое уравнение прямой в пространстве имеет вид
(8)
где х0, у0, z0 – координаты точки, через которую проходит прямая (8), а m, n, p – направляющие коэффициенты этой прямой. По условию прямая проходит через точку А4(0; 1; 4) и перпендикулярные грани А!А2А3 для которой (2; -1; -2), т.е. подставив эти данные в формулу (8), получаем
- уравнение высоты А4Д
Пример 3. Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам, начиная от φ = 0 до φ = 2π и придавая φ значения через промежуток π/8; 2) найти уравнение данной линии в прямоугольной декартовой ситеме координат, у которой начало координат совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3) по полученному уравнению определить, какая это линия.
Решение.
1) Построим линию по точкам от φ = 0 до φ = 2π, придавая φ значения через промежуток .
Составим таблицу:
φ |
r(φ) |
00 |
|
22,50 |
|
450 |
|
67,50 |
|
900 |
|
112,50 |
|
1350 |
|
157,50 |
|
1800 |
|
202,50 |
|
2250 |
|
247,50 |
|
2700 |
|
292,50 |
|
3150 |
|
337,50 |
|
3600 |
φ |
0 |
π |
2π |
||||||||||||||
r |
18 |
17,2 |
15,2 |
12,99 |
11,08 |
9,66 |
8,7 |
8,2 |
8 |
8,2 |
8,7 |
9,66 |
11,08 |
13 |
15,2 |
17,2 |
18 |
Построим полученные точки в полярной системе координат (рис. 1).
Рис. 1.
2) Найдем уравнение данной линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абцисс ОХ – с полярной осью р.
Для этого воспользуемся формулами перехода к прямоугольной декартовой системе координат х = rcosφ, y = rsinφ, откуда r2=x2+y2, тогда подставим эти формулы в данное уравнение , получаем:
Возведем в квадрат обе части последнего равенства:
Разделим обе части последнего уравнения на 24336:
Полученное уравнение – уравнение эллипса с центром в точке А(5; 0), полуоси которого
Проверим r(-φ), зная, что cosφ=cos(-φ)
Так как r(-φ)=r(φ), то данная линия будет симметрична относительно полярной оси р и достаточно найти r(φ) для углов от φ=0 до φ=π .
Пример 4. Данную систему уравнений:
решить по формулам Крамера (через определитель) и средствами матричного исчисления ( с помощью обратной матрицы).
Обозначим через А матрицу коэффициентов при неизвестных;
Х – м-цу - столбец неизвестных х1, х2, х3;
В – м-цу – столбец свободных членов:
С учетом этих обозначений данная система уравнений примет следующую матричную форму:
(1)
Если матрица А – невырожденная (ее определитель ), то она имеет обратную матрицу А-1. умножив обе части уравнения (1) на А-1 , получим:
,
но - единичная матрица, а ЕХ = Х, поэтому
(2)
Равенство (2) называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо выписать обратную матрицу А-1.
Пусть имеем невырожденную матрицу и ее определитель равен Δ, тогда где Aij (i = 1,2,3; j = 1,2,3) – алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А и
где Mij – минор (определитель) второго порядка, полученный вычеркиванием i –й строки и j – го столбца в определителе матрицы А.
Вычислим определитель Δ и алгебраические дополнения Aij элементов матрицы А.
следовательно матрица А невырожденная и имеет обратную матрицу А-1.
тогда
По формуле (2) находим решение данной системы уравнений в матричной форме:
отсюда х1=3, х2=0, х3=-2.