2. Классическое определение вероятности

Вероятность – одно из основных понятий теории вероятностей.

Существует несколько определений этого понятия. Приведем определение, которое называют клас­сическим. Далее укажем слабые стороны этого определе­ния и приведем другие определения, позволяющие пре­одолеть недостатки классического определения.

Рассмотрим ситуацию: В ящике содержится 6 оди­наковых шаров, причем 2 – красные, 3- синие и 1-белый. Очевидно, возмож­ность вынуть наудачу из урны цветной (т. е. красный или синий) шар больше, чем возможность извлечь белый шар. Эту возможность можно охарактеризовать числом, которое и называют вероятностью события (появления – цветного шара).

Вероятность – число, характеризующее степень воз­можности появления события.

В рассматриваемой ситуации обозначим:

Событие А =”Вытаскивание цветного шара”.

Каждый из возможных результатов испытания (испытание состоит в извлечении шара из урны) назовем элементарным (возможным) исходом и событием. Элементарные исходы можно обозначать буквами с индексами внизу, например: k₁, k₂.

В нашем примере 6 шаров, поэтому 6 возможных исходов: появился белый шар; появился красный шар; появился синий шар и т.д. Легко видеть, что эти исходы образуют полную группу попарно несовместных событий (обязательно появится только один шар) и они равновозможные (шар вынимают наудачу, шары одинаковы и тщательно перемешаны).

Элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими исходами этому событию. В нашем примере благоприятствуют со­бытию А (появлению цветного шара) следующие 5 исхо­дов:

Таким образом, событие А наблюдается, если в испы­тании наступает один, безразлично какой, из элементар­ных исходов, благоприятствующих А. Это появление любого цветного шара, которых в ящике 5 штук

Вероят­ностью события А будем считать число, равное отношению количества благоприятствующих событию А эле­ментарных исходов к их общему количеству. Обозначают Р(А)

В рассмат­риваемом примере элементарных исходов 6; из них 5 благоприятствуют событию А. Следовательно, Р(А)=5/6. Это число дает ту количественную оценку степени возможности появления цветного шара.

Определение вероятности:

Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.

Р(А)=m/n или Р(А)=m: n, где:

m -число элементарных исходов, благоприятствую­щих А;

п - число всех возможных элементарных исходов испытания.

Здесь предполагается, что элементарные исходы не­совместные, равновозможные и образуют полную группу.

Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:

1. Вероятность достоверного события равна единице.

Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует собы­тию. В этом случае m = n следовательно, p=1

2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае m=0, следовательно, p=0.

3.Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и еди­ницей. 0<p(n)<1. Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испы­тания. В этом случае 0 < т < n.

В последующих темах будут приведены теоремы, которые позволяют по из­вестным вероятностям одних событий находить вероятно­сти других событий.

Промер. В группе студентов 6 девушек и 4 юношей. Какова вероятность того, что наудачу выбранный студент будет девушка? будет юноша?

p_дев = 6 / 10 =0,6 p_юн = 4 / 10 = 0,4

Понятие “вероятность” в современные строгие курсы теории вероятностей построены на теоретико-множественной основе. Рассмотрим некоторые моменты такого подхода.

Пусть в результате испытания наступает одно и только одно из событий: w_i (i=1, 2, …. п). События w_i,- называется элементарными событиями (элементарными исходами). Отсюда следует, что элементарные события попарно несовместны. Множество всех элементарных событий, которые могут появиться в испытании, называют пространством элементарных событий Ω (греческая буква омега заглавная), а сами элементарные собы­тия – точками этого пространства..

Событие А отождествляют с подмножеством (пространства Ω), элементы которого есть элементарные исходы, благоприятствующие А; событие В есть подмножество Ω_, элементы которого есть исходы, благоприятствующие В, и т, д. Таким образом, множества всех со­бытий, которые могут наступить в испытании, есть множество всех подмножеств Ω, Само Ω наступает при любом исходе испытания, поэтому Ω – достоверное событие; пустое подмножество пространства Ω- -невозможное событие (оно не наступает ни при каком исходе испытания).

Элементарные события выделяются из числа всех событий тем, ‘по каждое из них содержит только один элемент Ω

Каждому элементарному исходу w_i ставят в соответствие поло­жительное число р_i - вероятность этого исхода, причем сумма всех р_i равна 1 или со знаком суммы этот факт запишется в виде выражения:

По определению, вероятность Р(А) события А равна сумме вероят­ностей элементарных исходов, благоприятствующих А. Поэтому вероятность события достоверного равна единице, не­возможного – нулю, произвольного – заключена между нулем и еди­ницей.

Рассмотрим важный частный случай, когда все исходы равновоз­можные, Число исходов равно л, сумма вероятностей всех исходов равна единице; следовательно, вероятность каждого исхода равна 1/п. Пусть событию А благоприятствует m исходов.

Вероятность события А равна сумме вероятностей исходов, благоприятствующих А:

Р(А)=1/n + 1/n+…+1/n = n·1/n=1

Получено классическое определение вероятности.

Существует еще аксиоматический подход к понятию “вероятность”. В системе аксиом, предложенной. Колмогоровым А. Н, неопре­деляемыми понятиями являются элементарное событие и вероятность. Построение логически полноценной теории вероятностей основано на аксиоматическом определении случайного события и его вероятно­сти.

Приведем аксиомы, определяющие вероятность:

1. Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицатель­ное действительное число Р(А). Это число называется вероятностью события А.

2. Вероятность достоверного события равна единице:

3. Вероятность наступления хотя бы одного из попарно несов­местных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Исходя из этих аксиом, свойства вероятностей к зависимости между ними выводят в качестве теорем.

Ограниченность классического определения вероятности.

1. Классический способ опре­деления вероятности не применим к бесконечным множествам. событий (исходов).

2. Наиболее слабая сторона классического определения состоит в том, что очень часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий.

3. Еще труднее указать основания, позволяющие считать элементарные события равновозможными. Обычно о равно возможности элементарных исходов испытания говорят из соображений симметрии. Так, например, пред­полагают, что игральная кость имеет форму правильного многогранника (куба) и изготовлена из однородного мате­риала. Однако задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, на практике встречаются весьма редко.

В связи с этим рассматриваются иные способы вычисления вероятностей. К таковым относятся статистический способ вычисления вероятности и геометрическая вероятность, с которыми мы будем знакомиться в дальнейшем. состоящий в том, что оно непри­менимо к испытаниям

Статистический способ подсчета вероятности.

Этот способ направлен на неоднократное установление частоты появления события с различным числом объектов в рамках некоторого испытания.

Пример. На бахче готовят партию из десятка тонн арбузов к отправке. Что бы убедиться в их спелости надо просмотреть все арбузы, но тогда придется каждый арбуз пометить и он окажется не пригодным к отправке. На практике можно провести серию испытаний. Выбираем произвольно 10 арбузов и установим число спелых из них. Пусть таких оказалось 9 арбузов, тогда частота р₁=9/10. В другой партии их 15 арбузов оказалось 13 спелых, р₂=13/15. В третей частота оказалась равной р₃ =18/18, в четвертой – р₄= 6/7. Все полученные числа будут группировать около некоторого числа, являющееся средним арифметическим вычисленных частот:

р= (р₁.+ р₂+ р₃ + р₄) / 4 = (9/10+13/15+18/18+6/7) =761 / 840 »0,9059.

Запишем статистический способ подсчета вероятности в общем виде:

p₁=m₁ / n₁, p₂=m₂ / n₂, p₃=m₃ / n₃, …. p_i=m_i / n_i. 1£ i £ k

m_i – число появления события,

n_i - число проведенных опытов (наблюдений, испытаний),

p_i – частота появления события в каждом опыте

k – опытов

Естественно предположить, что она будет различная. Вероятность рассматриваемого события будет равна среднему арифметическому полученных частот.

p=(p₁ + p₂+p₃ + …+p_k) / k, где р – статистическая вероятность.

Вероятность события в данном испытании называется число, около которого “группируются” относительные частоты при нескольких

Для существования статистической вероятности собы­тия А требуется:

а) возможность, хотя бы принципиально, производить неограниченное число испытаний, в каждом из которых событие А наступает или не наступает;

б) устойчивость относительных частот появления А в различных сериях достаточно большого числа испыта­ний.

Недостатком статистического определения является неоднозначность статистической вероятности; значения которой “колеблется около какого-то теоретического числа, например: от 0,39 до 0,41 и др.