- •Тема 8: Задачи экономического смысла, которые сводятся к дифференциальным уравнениям. Самостоятельная работа. Теоретическая часть
- •Тема 9: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициэнтами. Самостоятельная работа. Теоретическая часть
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения с
- •При этом многочлен называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными
- •Нормальные системы линейных однородных дифференциальных
- •Тема 10: Дифференциальные уравнения с відокремленими змінними. Самостоятельная работа. Теоретическая часть
- •Тема 11: Применение дифференциального исчисления в экономике. Самостоятельная работа. Теоретическая часть
- •Исследование функций
- •Предельный анализ
- •Тема 12: Решение дифференциальных уравнений. Индивидуальное задание №1. Самостоятельная работа. Практическая часть
- •Индивидуальное задание №1
- •Теоретическая часть
- •Практическая часть
- •Теоретическая часть
- •Практическая часть
- •Тема: Решение систем линейных уравнений. Практичская часть
- •Тема: Системы линейных неравенств, графический способ их решения. Теоретическая часть
- •Практическая часть
- •Теоретическая часть
- •Практическая часть
- •Теоретическая часть
- •Практическая часть
- •Теоретическая часть
- •1 Случайные события.
- •2. Классическое определение вероятности
- •4. Геометрическая вероятность
- •Практическая часть
- •Теоретическая часть
- •3. Вычисление вероятностей событий и комбинаторика.
- •Практическая часть
- •Теоретическая часть
- •Практическая часть
Тема: Системы линейных неравенств, графический способ их решения. Теоретическая часть
Линейные неравенства имеют особо важное значение для экономистов, т.к именно при помощи линейных неравенств можно смоделировать производственные процессы и найти наиболее выгодные планы производства, транспортировки, размещения ресурсов и т. д. Графический метод заключается в построении множества допустимых решений ЗЛП, и нахождении в данном множестве точки, соответствующей max/min целевой функции. Система ограничений такой задачи состоит из неравенств от двух переменных:
и целевая функция имеет вид F = C 1 x + C2y, которую необходимо максимизировать.
Ответим на вопрос: какие пары чисел ( x; y ) являются решениями системы неравенств, т. е. удовлетворяют каждому из неравенств одновременно? Предварительно необходимо понять, что является решением одного линейного неравенства с двумя неизвестными. Решить линейное неравенство с двумя неизвестными – это значит определить все пары значений неизвестных, при которых неравенство выполняется. Например, неравенству 3x – 5 y ≥ 42 удовлетворяют пары (x , y) : (100, 2); (3, –10) и т. д. Задача состоит в нахождении всех таких пар. Рассмотрим два неравенства: ax + by≤ c, ax + by≥ c. Прямая ax + by = c делит плоскость на две полуплоскости так, что координаты точек одной из них удовлетворяют неравенству ax + by >c , а другой неравенству ax + +by <c. Действительно, возьмем точку с координатой x = x 0; тогда точка, лежащая на прямой и имеющая абсциссу x0, имеет ординату
Итак,
Пусть для определенности a< 0, b>0, c >0. Все точки с абсциссой x0, лежащие выше P (например, точка М), имеют yM>y0, а все точки, лежащие ниже точки P, с абсциссой x0, имеют yN<y0. Поскольку x0 –произвольная точка, то всегда с одной стороны от прямой будут находиться точки, для которых ax+ by > c, образующие полуплоскость, а с другой стороны – точки, для которых ax + by< c.
Знак неравенства в полуплоскости зависит от чисел a, b , c. Отсюда вытекает следующий способ графического решения систем линейных неравенств от двух переменных. Для решения системы необходимо:
-
Для каждого неравенства выписать уравнение, соответствующее данному неравенству.
-
Построить прямые, являющиеся графиками функций, задаваемых уравнениями.
-
Для каждой прямой определить полуплоскость, которая задается неравенством. Для этого взять произвольную точку, не лежащую на прямой, подставить ее координаты в неравенство. если неравенство верное, то полуплоскость, содержащая выбранную точку, и является решением исходного неравенства. Если неравенство неверное, то полуплоскость по другую сторону прямой является множеством решений данного неравенства.
-
Чтобы решить систему неравенств, необходимо найти область пересечения всех полуплоскостей, являющихся решением каждого неравенства системы.
Эта область может оказаться пустой, тогда система неравенств не имеет решений, несовместна. В противном случае говорят, что система совместна. Решений может быть конечное число и бесконечное множество. Область может представлять собой замкнутый многоугольник или же быть неограниченной.
Рассмотрим три соответствующих примера.
Пример 1. Решить графически систему: x + y – 1 ≤ 0; –2 x – 2y + 5 ≤ 0.
Решение: – рассмотрим уравнения x + y–1 = 0 и –2x – 2y + 5 = 0, соответствующие неравенствам; – построим прямые, задающиеся этими уравнениями.
Определим полуплоскости, задаваемые неравенствами. Возьмем произвольную точку, пусть (0; 0). Рассмотрим x+ y– 1 0, подставим точку (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. значит, в той полуплоскости, где лежит точка (0; 0), x + y – 1 ≤ 0, т.е. полуплоскость, лежащая ниже прямой, является решением первого неравенства. Подставив эту точку (0; 0), во второе, получим: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, т.е. в полуплоскости, где лежит точка (0; 0), –2x – 2y + 5≥ 0, а нас спрашивали, где –2x – 2y + 5 ≤ 0, следовательно, в другой полуплоскости – в той, что выше прямой. Найдем пересечение этих двух полуплоскостей. Прямые параллельны, поэтому плоскости нигде не пересекаются, значит система данных неравенств решений не имеет, несовместна.
Пример 2. Найти графически решения системы неравенств:
Рисунок 3
1. Выпишем уравнения, соответствующие неравенствам, и построим прямые. x + 2y– 2 = 0
x |
2 |
0 |
y |
0 |
1 |
y – x – 1 = 0
x |
0 |
2 |
y |
1 |
3 |
y + 2 = 0; y = –2. 2. Выбрав точку (0; 0), определим знаки неравенств в полуплоскостях: 0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, т.е. x + 2y– 2 ≤ 0 в полуплоскости ниже прямой; 0 – 0 – 1 ≤ 0, т.е. y –x– 1 ≤ 0 в полуплоскости ниже прямой; 0 + 2 =2 ≥ 0, т.е. y + 2 ≥ 0 в полуплоскости выше прямой. 3. Пересечением этих трех полуплоскостей будет являться область, являющаяся треугольником. Нетрудно найти вершины области, как точки пересечения соответствующих прямых
Таким образом, А(–3; –2), В(0; 1), С(6; –2).
Рассмотрим еще один пример, в котором получившаяся область решения системы неограничена.
Пример 3. Решить графически систему
Выпишем уравнения, соответствующие неравенствам, и построим прямые.
Рисунок 4
x + y – 1 = 0
x |
0 |
1 |
y |
1 |
0 |
y – x – 1 = 0
x |
0 |
–1 |
y |
1 |
0 |
Определим знаки в полуплоскостях. Выберем точку (0; 0): 0 – 0 – 1 ≤ 0, т.е. y – x – 1 ≤ 0 ниже прямой; 0 + 0 – 1 ≤ 0, т.е. x + y – 1 ≤ 0 ниже прямой. Пересечением двух полуплоскостей является угол с вершиной в точке А(0;1). Эта неограниченная область является решением исходной системы неравенств.