Розділ 3. Осноні поняття математичної статистики. Випадкові величини та їх числові характеристики.
А. Поняття випадкової величини. Дискретні та неперервні випадкові величини.
Якщо проводиться вимірювання, або прийом сигналів то рівень їх величини буде різний, тобто буде змінюватись хаотично.
Звертаю увагу, що якщо б можна було врахувати усю сукупність умов реалізації випробування, то результат був би одним і тим же, детермінованим.
Випадковою величиною називають величину, яка в результаті спроби приймає одну і тільки одну величину, одне значення із можливих, наперед невідоме і що залежить від випадкових причин, які не можуть бути враховані точно.
Наприклад: Снаряд, якщо його випускати весь час в одних і тих же умовах настройки прицілу пушки буде пролітати різну віддаль.
Будемо далі позначати випадкові величини великими буквами X,Y, Z, тоді коли конкретні значення даних величин в певній реалізації малими буквами: x1, x2…
y1, y2…
z1, z2…
Дискретні та неперервні випадкові величини.
Дискретні випадкові величини можуть приймати цілком певні ізольовані один від одного значення від спроби до спроби.
Наприклад: Кількість працюючих в даний момент телефонних ліній зв’язку. Зрозуміло, що кожне дискретне значення має свою ймовірність появи. Число можливих значень може бути, як скінченим так і безмежним.
Неперервною називають випадкову величину, яка може приймати довільне значення з скінченого (а в), або необмеженого проміжку значень.
Б. Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини.
Ясно, що для визначення дискретної випадкової величини необхідно вказати не лише конкретну множину можливих значень, а і множину відповідних ймовірностей. Тобто кожному значенню Xі дискретної випадкової величини ставиться у відповідність ймовірність її появи.
|
X1 |
P1 |
|
X2 |
P2 |
|
... |
… |
|
Xn |
Pn |
|
… |
|
величина в іншому процесі хоча і буде реалізуватись один і той же набір {Хі} може мати зовсім інший набір ймовірностей {Рі}.
Законом розподілу дискретної випадкової величини називають відповідність між можливими значеннями і їх ймовірністю.
Цей взаємозв’язок можна задати графічно, аналітично (у вигляді функції) та таблично.
|
X |
X1 |
X2 |
… |
|
P |
P1 |
P2 |
… |
P(xi)= f(xi); x є N
Графічне зображення закону розподілу, називається многокутником розподілу.
В. Приклади: біноміальний закон розподілу. Закон розподілу Пуассона.
1) Біноміальний закон.
Нехай виконується "n" випробувань із яких подія А може виконуватись з ймовірністю p, або не виконуватись з ймовірністю q = 1 – p .
В якості дискретної випадкової величини виділяємо число реалізації події X.
Для розв’язку задачі по знаходженню закону розподілу кількості позитивних подій А при "n" дослідах необхідно встановити набір можливих значень та їх ймовірність.
Ясно, що у даній задачі Х = {0, 1, 2, 3, ..., n} можливі значення.
Відповідні ймовірності:
Формула (*) є аналітичним виразом шуканого закону розподілу.
Біноміальним законом розподілу називають розподіл ймовірностей, що задається формулою Бернуллі.
Тоді закон розподілу
.
2) Розподіл Пуассона.
Нехай здійснюються "n" випробувань, в яких з ймовірністю "p" може появитись подія A.
Якщо "n" - велике число, то обчислити за допомогою біноміального розподілу важко через факторіали. Можна скористатись асимитатичною формулою Лапласа. Але дана формула не підходить, якщо ймовірність реалізації події А мала
р< 0,1.
Для цього випадку ймовірність можна розрахувати за допомогою асимитатичної формули Пуассона.
І так, нехай число спроб "n" велике, а ймовірність події для одної спроби мала p < 0,1.
Знайти ймовірність, що "n" спроб дадуть "К" реалізацій події А.
Скористаємось формулою Бернуллі:
Якщо
ввести параметр λ = рn,
то
і відповідно
Якщо
n>>1
то
можемо перейти до границі
Почленно поділимо
Ця формула виражає закон розподілу Пуассона.
Г. Інтегральна та диференціальна функції розподілу випадкової величини, їх властивості та функція розподілу (крива розподілу).
Інтегральна
функція розподілу,
або просто функція розподілу
змінної Х називається ймовірність того
,що випадкова величина Х не спаде в
інтервал
.
Функція
є не спадною, додатньо визначеною, при
;
для
.
Для дискретних випадкових величин функція розподілу є ступінчатою, причому неперервна зліва! Границя сходини належить наступному інтервалу:
Характерний
графік
Існує іще одне визначення функції розподілу неперервної випадкової величини.
Випадкова
величина ξ називається неперервною,
якщо існує невід’ємна функція Pξ
така, що для довільних х є R
функція розподілу
матиме вигляд (можна уявити як)
Тоді
називається цільністю розподілу
ймовірності або щільністю розподілу.
Легко побачити, що
- являється
диференціальною функцією розподілу.
Властивості
1)
4) Якщо
в точці х функція
неперервна, то
.
Існують 2 задачі теорії ймовірності.
-
Знайти функцію розподілу
для довільного значення “х” -
Знайти те значення х0, при якому
- заданій
ймовірності.
В цьому випадку х0 –називають квантіллю, що відповідає заданому рівню “P”.
Квантіль,
що відповідає
називається медіаною розподілу.
Характерний графік густини ймовірності, щільності розподілу, диференціальній функції розподілу
мода розподілу, ще значення випадкової величини ξ, яке має найбільшу ймовірність. Якщо щільність має одну моду, то вона є унімодальною.
Імовірнісний зміст густини розподілу.
Нехай
-
інтегральна функція розподілу випадкової
величини Х. Тоді густина ймовірності:
,
або ж
Різниця
- це ймовірність того, що випадкова
величина потрапить в інтервал
.
попадання в інтервал
х
,
тому що
.
Д. ЧИСЛОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН