- •Московский государственный институт индустрии туризма
- •080502.65 Экономика и управление на предприятии (туризм и
- •100201.65 Туризм
- •Дифференциальное исчисление функции одной переменной Теоретические вопросы
- •Контрольная работа
- •Исследование функции методами дифференциального исчисления и построение её графика Теоретические вопросы
- •Расчётная работа № 4 Задачи для самостоятельного решения
- •Неопределённый и определённый интегралы Теоретические вопросы
- •Расчётная работа № 5 Примеры для самостоятельного решения
- •Часть 1
- •Решение типовых примеров.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Часть II
- •Решение типовых примеров
- •Тема 1. Дифференциальное исчисление функции одной переменной……………3
- •Тема 2. Неопределённый и определённый интегралы………………… …………20
Исследование функции методами дифференциального исчисления и построение её графика Теоретические вопросы
1. Сформулируйте признаки возрастания (убывания) функции в данной точке.
2. Дайте определение максимума и минимума функции.
3. Сформулируйте необходимое условие существования экстремума.
4. Какие значения аргумента (какие точки) называются критическими? Как найти эти точки?
5. Сформулируйте достаточный признак существования экстремума и изложите схему исследования функции на экстремум с помощью первой производной.
6. Изложите схему исследования функции на экстремум с помощью второй производной.
7. Сформулируйте правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на заданном отрезке.
8. Дайте определение выпуклости и вогнутости кривой.
9. Что называется точкой перегиба графика функции? Укажите способ нахождения этих точек.
10. Сформулируйте необходимый и достаточный признаки выпуклости и вогнутости кривой на заданном отрезке.
11. Дайте определение асимптоты кривой. Как найти вертикальные и наклонные асимптоты кривой?
12. Изложите общую схему исследования функции и построение её графика.
Расчётная работа № 4 Задачи для самостоятельного решения
Для расчетной работы № 4 по теме «Исследование функций методами дифференциального исчисления и построение их графиков» предлагается 20 вариантов, в каждом из которых даны две функции. Исследование функций и построение графиков следует проводить по следующей схеме:
-
Найти область определения функции.
-
Исследовать функцию на непрерывность; найти точки разрыва функции и её односторонние пределы в точках разрыва.
-
Найти точки экстремума функции и определить промежутки монотонности (интервалы возрастания и убывания функции).
-
Найти точки перегиба графика функции и определить интервалы выпуклости и вогнутости графика.
-
Найти асимптоты графика функции.
6) Построить график функции, используя результаты проведённого исследования.
7) Для функции из пункта а) требуется дополнительно найти наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке [ ; ] .
1. а ) = 1 , = 3 ;
б )
2. а ) = 1 , = 2 ;
б )
3. а ) = 2 , = 3 ;
б )
4. а ) = 1 , = 2 ;
б )
5. а ) = 0 , = 4 ;
б)
6. а ) = 2 , = 3 ;
б )
7. а ) = 3 , = 0 ;
б )
8. а ) = 3 , = 1 ;
б )
9. а ) = 1 , = 4 ;
б )
10. а ) = 1 , = 4 ;
б )
11. а ) = 4 , = 1 ;
б )
12. а ) = 4 , = 0 ;
б )
13. а ) = 1 , = 5 ;
б )
14. а ) = 2 , = 3 ;
б )
15. а ) = 5 , = 2 ;
б )
16. а ) = 5 , = 0 ;
б )
17. а ) = 0 , = 3 ;
б )
18. а ) = 3 , = 5 ,
б )
19. а ) = 5 , = 3 ,
б )
20. а ) = 5 , = 1 ,
б )
Решение типовых примеров.
Исследовать заданные функции методами дифференциального исчисления и начертить их графики. Исследование функций и построение графиков рекомендуется проводить по следующей схеме:
-
Найти область определения функции.
-
Исследовать функцию на непрерывность; найти точки разрыва функции и её односторонние пределы в точках разрыва.
-
Найти точки экстремума функции и определить промежутки монотонности (интервалы возрастания и убывания функции).
-
Найти точки перегиба графика функции и определить интервалы выпуклости и вогнутости графика.
-
Найти асимптоты графика функции.
-
Построить график функции, используя результаты проведённого исследования.
-
Для функции под пунктом а ) найти дополнительно наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке [ ; ].
Пример 1. у = ( х3 + 9х2 + 15х – 9).
1) Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента х, то есть, D( у): х ( ; + ), а это значит, что функция непрерывна на всей числовой оси и её график не имеет вертикальных асимптот.
2) Исследуем функцию на экстремум и определим интервалы монотонности. С этой целью найдём её производную и приравняем к нулю:
Решая полученное квадратное уравнение, делаем вывод о том, что функция имеет две критические точки первого рода: Разбиваем этими точками область определения на части, и по изменению знака производной определим промежутки монотонности ( интервалы возрастания и убывания функции ) и наличие экстремума функции:
|
( , 5 ) |
5 |
( 5, 1 ) |
1 |
( 1, + ) |
|
+ |
0 |
|
0 |
+ |
|
|
max |
|
min |
|
3) Определим точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. Для этого найдём вторую производную заданной функции и приравняем её к нулю:
Итак, функция имеет одну критическую точку второго рода . Разобьём полученной точкой область определения на части, в каждой из которых установим знак второй производной:
-
( , 3 )
3
( 3, + )
0
+
т. п.
Значение х = - 3 является абсциссой точки перегиба графика функции, а ордината этой точки
4) Выясним наличие у графика заданной функции наклонных асимптот.
Для определения параметров и уравнения асимптот воспользуемся формулами
Для заданной функции
.
Следовательно, у графика заданной функции наклонных асимптот нет.
5) Для построения графика функции в системе координат хОу изобразим точки максимума А (- 5; 4 ), минимума В (- 1; - 4 ), перегиба С (- 3; 0 ) и точку пересечения графика с осью Оу D ( 0; - 9 / 4 ). С учётом результатов исследования построим кривую ( см. рис.1 ).
6) Найдём наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [- 3; 0 ]. Для этого вычислим значения функции на концах этого отрезка, в критических точках первого рода, попавших на отрезок, и сравним результаты:
у (- 3) = 0 ; у (- 1) = - 4 ; у ( 0) = - 9/4 .
Очевидно, что унаиб. (- 3) = 0 ; унаим. (- 1) = - 4 .
Рис. 1
Пример 2.
-
Область определения функции: D ( у ) = { х ( - ; 4 ) ( 4 ; + ) } .
-
Исследование на непрерывность и классификация точек разрыва.
Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки .
Вычислим её односторонние пределы в этой точке:
;
х40 х40 х4+0 х4+0
Таким образом, точка является для заданной функции точкой разрыва, а прямая вертикальной асимптотой графика.
3) Исследование на экстремум и промежутки монотонности ( интервалы возрастания и убывания функции).
Найдём производную функции, приравняем её к нулю и найдём корни полученного уравнения:
|
(; 2) |
2 |
(2; 4) |
4 |
( 4; 10) |
10 |
(10;+) |
|
+ |
0 |
|
не сущ. |
|
0 |
+ |
|
|
max |
|
|
|
min |
|
уmax = у (2) = 4; ymin = y (10) = 20 .
Обозначим точку максимума А (2; 4 ), точку минимума В ( 10; 20 ) .
-
Исследование графика на выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
Найдём вторую производную функции, приравняем её к нулю и найдём корни полученного уравнения (если они есть).
=
Так как 0 , то график заданной функции точек перегиба не имеет. Остаётся выяснить вопрос об интервалах выпуклости и вогнутости графика.
-
( ; 4 )
4
( 4 ; + )
не сущ.
+
-
Исследование графика на наличие наклонных асимптот:
Следовательно, прямая наклонная асимптота графика.
6 ) Построение графика.
График заданной функции пересекает ось Оу в точке С ( 0; 5) . Действительно, при функция
Используя все предыдущие результаты исследования, график заданной функции имеет вид, представленный на рис.2.
При построении графика следует вначале провести асимптоты: (вертикальная асимптота) и (наклонная асимптота); затем нанести точки А ( 2; 4 ) max, В ( 10; 20 ) min и С ( 0; 5 ) пересечение с осью ОУ ; и только потом начертить график. При необходимости можно использовать дополнительные точки.
Рис. 2