Контрольные работы

Указания по выбору варианта

Выбор вариантов контрольного задания осуществляется студентом самостоятельно на основании двух последних цифр номера зачетной книжки (в каждом задании предусмотрено 25 вариантов).

Для ускорения решения заданий допускается использовать вычислительную технику и соответствующие программные средства (например, Microsoft Excel).

Контрольное задание №1. Экономико-математическая модель межотраслевого баланса (модель Леонтьева «Затраты-выпуск»)

Методические указания

Межотраслевой баланс (МОБ) это макроэкономическая модель, отражающая производство и потребление продукции в отраслях и секторах экономики в стоимостном выражении. МОБ отражает межотраслевые поставки и конечное потребление продукции произведенной в отраслях в течение года. Межотраслевой баланс представляется в виде табл. 1.

Таблица 1

Межотраслевой баланс производства и потребления продукции

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли					Конечный продукт Y		Валовой продукт X
	1	2	…	n
1 2 … n	х11 х21 … хn1	х12 х22 … хn2	… … … …	х1n х2n … хnn	Y1 Y2 … Yn		X1 X2 … Xn
Добавленная стоимость	Z1	Z2	…	Zn
Валовой продукт	X1	X2	…	Xn

В табл. 1 представлены объемы производства продукции n отраслей Х₁,Х₂,…,Х_n ; х_ij – стоимость продукции i-й отрасли, потребленное в j-й отрасли в течение года; Y_i – объем потребления продукции i-й отрасли в непроизводственной сфере; Z_j – добавленная стоимость в j-й отрасли, которая включает оплату труда, чистый доход, амортизацию.

В межотраслевом балансе имеют место следующие балансовые соотношения:

(1.1)

Основу экономико-математической модели МОБ составляет матрица коэффициентов прямых затрат А=(a_ij).

Коэффициенты прямых затрат определяются по формуле:

a_ij=х_ij/X_j , i,j= 1,2,…,n. (1.2)

Эти коэффициенты показывают, какое количество продукции i-ой отрасли необходимо для производства единицы валовой продукции j-ой отрасли.

Из (1.2) следует, что

х_ij = a_ij X_j. (1.3)

Подставляя (1.3) в (1.1) получаем:

, (1.4)

или в матричном виде:

Х = АХ + Y. (1.5)

Откуда следует:

Y = (E - A) X ,

X = (E - A)^-1 Y. (1.6)

Матрица В = (E-A)^-1 называется матрицей коэффициентов полных затрат, для ее существования необходимо, чтобы определитель матрицы (Е-А) не был равен нулю.

Система уравнений (1.4), (1.5), (1.6) называется статической моделью Леонтьева. С помощью этой системы можно решать три типа задач:

1) по заданным величинам валовых выпусков Х_j определить объемы конечной продукции каждой отрасли Y_i и построить таблицу межотраслевого баланса;

2) по заданным величинам конечной продукции Yi определить величины валовых выпусков Х_j каждой отрасли и построить таблицу межотраслевого баланса;

3) для нескольких отраслей заданы величины валовых выпусков Х_j, а для остальных отраслей заданы величины конечной продукции Y_i, надо определить объемы конечной продукции первых отраслей и валовых выпусков вторых отраслей и построить таблицу межотраслевого баланса. В последнем случае расчет неизвестных осуществляется по комбинированной схеме:

(1.7)

(1.8)

где , - векторы заданных уровней конечного и валового продуктов;

,- векторы искомых уровней валового и конечного продуктов;

Aik, i,k = 1,2 - блоки разбиения матрицы коэффициентов прямых затрат А.

Для того чтобы матрица А была продуктивной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось любое из условий:

1. Все главные миноры матрицы (Е-А) положительны.

2. Матричный ряд Е+А+А²+ А³+…сходится к (Е-А)^-1

3. Если сумма элементов в каждом столбце матрицы А меньше 1, то матрица А продуктивная. В межотраслевом балансе это условие, ввиду ненулевой добавленной стоимости, выполняется всегда, т.е. из условия Z_j>0 следует, что для j=1,2,…, n.

Пример. Располагая следующими данными об экономической системе, состоящей из трех экономических объектов: P1-промышленность, P2 - сельское хозяйство, P3 - транспорт:

	P1	P2	P3	∑	Y	X
P1	20	50			200	300
P2	10	0	40			500
P3	0				240
∑				310
Z		390
X

Требуется:

1.Завершить составление баланса.

2.Рассчитать матриц у коэффициентов прямых затрат, полных затрат, косвенных затрат.

3.Рассчитать валовые выпуски 1-ой и 2-ой отраслей и конечный продукт 3-ей отрасли на планируемый период при условии увеличения конечного продукта первых двух отраслей на 3%, оставив без изменения объем валового продукта 3-ей отрасли.

4.Рассчитать новую производственную программу каждой отрасли.

Порядок выполнения задания.

1. Составление баланса.

1.1. Используя баланс между производством и потреблением продукции отрасли P₁, найдем , а затем

1.2. Используя баланс между производством и потреблением продукции отрасли P₂, найдем Y₂, предварительно подсчитав

1.3. Используя соотношение между элементами столбца ∑, найдем

1.4.Используя баланс между производством и потреблением продукции отрасли P₃ , найдем Х₃:

1.5. Вычислим суммарные затраты всех трех отраслей на производство продукции первой отрасли

1.6. Используя стоимостную структуру продукции отрасли P₁, найдем Z₁

	P1	P2	P3	∑	Y	X
P1	20	50	30	100	200	300
P2	10	0	40	50	450	500
P3	0				240
∑				310
Z		390
X

Используя соотношение (1.3), получим Z₃:

1.8. Определим суммарные затраты на производство продукции отраслей P₂ и P₃ найдем

1.9. Определим затраты продукции отрасли P₃ на производство продукции P₂ и на собственные производственные нужды

Окончательно получаем

	P1	P2	P3	∑	Y	X
P1	20	50	30	100	200	300
P2	10	0	40	50	450	500
P3	0	60	100	160	240	400
∑	30	110	170	310
Z	270	390	230
X	300	500	400

2. Расчет матрицы коэффициентов прямых, полных и косвенных затрат

2.1. Элементы матрицы коэффициентов прямых затрат рассчитаем по формуле (2), получим:

2.2. Проверка условия продуктивности:

2.3. Рассчитаем элементы матрицы полных затрат:

2.4. Элементы матрицы косвенных затрат рассчитаем по формуле, получим:

3. Расчет валовых выпусков 1-ой и 2-ой отраслей и конечного продукта 3-ей отрасли.

3.1. Определим валовые уровни продукции отраслей P₁ и P₂ на планируемый период, предварительно вычислив новые уровни их конечных продуктов:

Y₁ = 200*1,03=206

Y₁ = 450*1,03=463,5

Расчет произведем по формуле (7)

Где - искомый вектор валовой продукции отраслей P₁ и P₂

- уровень валовой продукции 3-ей отрасли

- новый вектор конечной продукции отраслей P₁ и P₂

- блоки разбиения матрицы А:,

Результаты расчетов:

3.2. Определим объем конечного продукта отрасли P₃ по формуле (8), где - вектор валовой продукции отраслей P₁ и P₂ , найденной на предыдущем шаге, - блоки разбиения матрицы А,

Результаты расчетов:

4. Расчет производственной программы каждой отрасли. Расчеты произведем по формуле (3)

Результат расчетов

	P1	P2	P3	∑
P1	20,321	51,38	30	101,701
P2	10,161	0	40	50,161
P3	0	61,656	100	161,656
∑	30,482	113,036	170	313,518

5. Результаты расчетов п.3, 4 представим в балансе на планируемый период:

	P1	P2	P3	∑	Y	X
P1	20,321	51,38	30	101,701	206	307,7
P2	10,161	0	40	50,161	463,5	513,7
P3	0	61,656	100	161,656	238,3	400
∑	30,482	113,036	170	313,518	907,8
Z	277,218	400,664	230	907,8
X	307,7	513,7	400

Задачи для самостоятельного решения

1.1. Располагая данными об экономической системе, состоящей из четырех экономических объектов

	P1	P2	P3	P4	∑	Y	X
P1	0	120	30			380	600
P2		80	50	30		430
P3	170	150	10	80			480
P4	160			20		80
∑	400				1200		2160
Z			330
X

1.Завершить составление баланса.

2.Рассчитать матрицу коэффициентов прямых затрат, полных затрат, косвенных затрат.

3.Проверить выполнение условия продуктивности (по всем критериям)

4.Рассчитать валовой выпуск на новый ассортимент конечного продукта (450, 260, 130, 110).

5.Рассчитать новую производственную программу каждого экономического объекта.

1.2. Располагая данными об экономической системе, состоящей из четырех экономических объектов

	P1	P2	P3	∑	Y	X
P1	10		5			30
P2	15	8		28		40
P3		15
∑			20
Z	2				55
X			60

1.Завершить составление баланса.

2.Рассчитать матрицу коэффициентов прямых затрат, полных затрат, косвенных затрат.

3.Проверить выполнение условия продуктивности (по всем критериям)

4.Рассчитать валовой выпуск на новый ассортимент конечного продукта (10, 20, 30).

5.Рассчитать новую производственную программу каждого экономического объекта.

1.3. Располагая данными об экономической системе, состоящей из четырех экономических объектов

	P1	P2	P3	∑	Y	X
P1	5		7		10
P2	3				15
P3			9		30
∑	10	27
Z		13
X	30		50

1.Завершить составление баланса.

2.Рассчитать матрицу коэффициентов прямых затрат, полных затрат, косвенных затрат.

3.Проверить выполнение условия продуктивности (по всем критериям)

4.Рассчитать валовой выпуск на новый ассортимент конечного продукта (15, 5, 40).

5.Рассчитать новую производственную программу каждого экономического объекта.

1.4. Располагая данными об экономической системе, состоящей из четырех экономических объектов

	P1	P2	P3	P4	∑	Y	X
P1	10	80	50			350	500
P2		100	0	20		410
P3	150	140	20	100			420
P4	100			30		70
∑	400				1200		2200
Z			270
X

1.Завершить составление баланса.

2.Рассчитать матрицу коэффициентов прямых затрат, полных затрат, косвенных затрат.

3.Проверить выполнение условия продуктивности (по всем критериям)

4.Рассчитать валовой выпуск на новый ассортимент конечного продукта (420, 280, 130, 100).

5.Рассчитать новую производственную программу каждого экономического объекта.

1.5. Располагая данными об экономической системе, состоящей из четырех экономических объектов

	P1	P2	P3	∑	Y	X
P1	8		5			30
P2	15	8		30		40
P3		10
∑			20
Z	4				50
X			60

1.Завершить составление баланса.

2.Рассчитать матрицу коэффициентов прямых затрат, полных затрат, косвенных затрат.

3.Проверить выполнение условия продуктивности (по всем критериям)

4.Рассчитать валовой выпуск на новый ассортимент конечного продукта (15, 15, 30).

5.Рассчитать новую производственную программу каждого экономического объекта.

1.6. Располагая данными об экономической системе, состоящей из четырех экономических объектов

	P1	P2	P3	∑	Y	X
P1	5		10		10
P2	2				15
P3			9		40
∑	10	27
Z		15
X	30		50

1.Завершить составление баланса.

2.Рассчитать матрицу коэффициентов прямых затрат, полных затрат, косвенных затрат.

3.Проверить выполнение условия продуктивности (по всем критериям)

4.Рассчитать валовой выпуск на новый ассортимент конечного продукта (10, 15, 5).

5.Рассчитать новую производственную программу каждого экономического объекта.

1.7. Располагая данными об экономической системе, состоящей из четырех экономических объектов

	P1	P2	P3	P4	∑	Y	X
P1	50	10	60			320	470
P2		150	0	20		400
P3	0	90	110	80			380
P4	180			130		80
∑	320				1000		2250
Z			280
X

1.Завершить составление баланса.

2.Рассчитать матрицу коэффициентов прямых затрат, полных затрат, косвенных затрат.

3.Проверить выполнение условия продуктивности (по всем критериям)

4.Рассчитать валовой выпуск на новый ассортимент конечного продукта (330, 200, 120, 110).

5.Рассчитать новую производственную программу каждого экономического объекта.

1.8. Располагая данными об экономической системе, состоящей из четырех экономических объектов

	P1	P2	P3	∑	Y	X
P1	7		10		15
P2	2				15
P3			9		40
∑	12	24
Z		20
X	30		50

1.Завершить составление баланса.

2.Рассчитать матрицу коэффициентов прямых затрат, полных затрат, косвенных затрат.

3.Проверить выполнение условия продуктивности (по всем критериям)

4.Рассчитать валовой выпуск на новый ассортимент конечного продукта (20, 20, 10).

5.Рассчитать новую производственную программу каждого экономического объекта.

1.9. В составе пищекомбината 3 основных (1,2,3) и 2 заготовительных (4,5) цеха. Данные о межцеховых потоках продукции и объемах конечного выпуска в предшествующий плановому период приведены в таблице:

№ цехов	Межцеховые поставки						Конечный продукт
	1	2 3 4 5	3	4	5
1	0	50	70	0	0	900
2	10	0	20	0	0	1500
3	30	40	0	0	0	1600
4	270	380	700	10	0	0
5	350	900	800	0	15	0

Требуется рассчитать:

1.Валовые объемы выпуска продукции каждым цехом;

2.Матрицу коэффициентов прямых затрат;

3.Проверить выполнение условия продуктивности (по всем критериям);

4.Матрицы коэффициентов полных и косвенных затрат;

5.Валовой выпуск каждого основного цеха на 3 варианта ассортиментного плана конечной продукции этих цехов в предположении, что объем заготовок в плановом периоде 4-го цеха увеличится на 8%, а 5-г о - на 10%:

I– увеличить выпуск конечной продукции каждого основного цеха на 9%;

II– увеличить выпуск конечной продукции 1-го цеха на 10%, 2-г о – на 7%, 3-го – на 12 %;

III– увеличить выпуск конечной продукции 1-го и 2-го цехов на 15%, а 3-го на 10% уменьшить;

6. Для III варианта рассчитать производственную программу каждого цеха.

1.10. В составе пищекомбината 3 основных (1,2,3) и 2 заготовительных (4,5) цеха. Данные о межцеховых потоках продукции и объемах конечного выпуска в предшествующий плановому период приведены в таблице:

№ цехов	Межцеховые поставки						Конечный продукт
	1	2 4 5	3	4	5
1	10	60	70	0	0	800
2	10	0	75	20	0	1500
3	80	40	0	0	50	1800
4	250	10	700	10	0	0
5	320	900	800	0	15	0

Требуется рассчитать:

1.Валовые объемы выпуска продукции каждым цехом;

2.Матрицу коэффициентов прямых затрат;

3.Проверить выполнение условия продуктивности (по всем критериям);

4.Матрицы коэффициентов полных и косвенных затрат;

5.Валовой выпуск каждого основного цеха на 3 варианта ассортиментного плана конечной продукции этих цехов в предположении, что объем заготовок в плановом периоде 4-го цеха увеличится на 5%, а 5-г о - на 10%:

I– увеличить выпуск конечной продукции каждого основного цеха на 12%;

II– увеличить выпуск конечной продукции 1-го цеха на 10%, 2-г о – на 5%, 3-го – на 6 %;

III– увеличить выпуск конечной продукции 1-го и 2-го цехов на 15%, а 3-го на 10% уменьшить;

6. Для II варианта рассчитать производственную программу каждого цеха.

1.11. В составе пищекомбината 3 основных (1,2,3) и 2 заготовительных (4,5) цеха. Данные о межцеховых потоках продукции и объемах конечного выпуска в предшествующий плановому период приведены в таблице:

№ цехов	Межцеховые поставки						Конечный продукт
	1	2 4 5	3	4	5
1	15	40	70	15	0	800
2	10	0	0	20	0	150
3	0	80	50	0	50	1800
4	250	10	700	10	0	200
5	320	900	800	0	30	0

Требуется рассчитать:

1.Валовые объемы выпуска продукции каждым цехом;

2.Матрицу коэффициентов прямых затрат;

3.Проверить выполнение условия продуктивности (по всем критериям);

4.Матрицы коэффициентов полных и косвенных затрат;

5.Валовой выпуск каждого основного цеха на 3 варианта ассортиментного плана конечной продукции этих цехов в предположении, что объем заготовок в плановом периоде 4-го цеха увеличится на 2%, а 5-г о - на 10%:

I– увеличить выпуск конечной продукции каждого основного цеха на 12%;

II– увеличить выпуск конечной продукции 1-го цеха на 5%, 2-г о – на 5%, 3-го – на 6 %;

III– увеличить выпуск конечной продукции 1-го и 2-го цехов на 15%, а 3-го на 15% уменьшить;

6. Для I варианта рассчитать производственную программу каждого цеха.

1.12. В составе пищекомбината 3 основных (1,2,3) и 2 заготовительных (4,5) цеха. Данные о межцеховых потоках продукции и объемах конечного выпуска в предшествующий плановому период приведены в таблице:

№ цехов	Межцеховые поставки						Конечный продукт
	1	2 4 5	3	4	5
1	5	50	70	0	0	900
2	10	0	20	0	35	1500
3	30	0	0	50	0	1600
4	240	380	700	10	0	0
5	350	700	100	0	15	100

Требуется рассчитать:

1.Валовые объемы выпуска продукции каждым цехом;

2.Матрицу коэффициентов прямых затрат;

3.Проверить выполнение условия продуктивности (по всем критериям);

4.Матрицы коэффициентов полных и косвенных затрат;

5.Валовой выпуск каждого основного цеха на 3 варианта ассортиментного плана конечной продукции этих цехов в предположении, что объем заготовок в плановом периоде 4-го цеха увеличится на 5%, а 5-г о - на 10%:

I– увеличить выпуск конечной продукции каждого основного цеха на 9%;

II– увеличить выпуск конечной продукции 1-го цеха на 10%, 2-г о – на 10%, 3-го – на 12 %;

III– увеличить выпуск конечной продукции 1-го и 2-го цехов на 5%, а 3-го на 10% уменьшить;

6. Для III варианта рассчитать производственную программу каждого цеха.

1.13. В составе пищекомбината 3 основных (1,2,3) и 2 заготовительных (4,5) цеха. Данные о межцеховых потоках продукции и объемах конечного выпуска в предшествующий плановому период приведены в таблице:

№ цехов	Межцеховые поставки						Конечный продукт
	1	2 4 5	3	4	5
1	10	60	70	0	0	800
2	10	0	25	20	45	1500
3	0	40	0	0	50	1500
4	250	10	200	10	0	0
5	320	900	800	0	15	0

Требуется рассчитать:

1.Валовые объемы выпуска продукции каждым цехом;

2.Матрицу коэффициентов прямых затрат;

3.Проверить выполнение условия продуктивности (по всем критериям);

4.Матрицы коэффициентов полных и косвенных затрат;

5.Валовой выпуск каждого основного цеха на 3 варианта ассортиментного плана конечной продукции этих цехов в предположении, что объем заготовок в плановом периоде 4-го цеха увеличится на 3%, а 5-г о - на 10%:

I– увеличить выпуск конечной продукции каждого основного цеха на 12%;

II– увеличить выпуск конечной продукции 1-го цеха на 10%, 2-г о – на 5%, 3-го – на 6 %;

III– увеличить выпуск конечной продукции 1-го и 2-го цехов на 15%, а 3-го на 10% уменьшить;

6. Для II варианта рассчитать производственную программу каждого цеха.

1.14. В составе пищекомбината 3 основных (1,2,3) и 2 заготовительных (4,5) цеха. Данные о межцеховых потоках продукции и объемах конечного выпуска в предшествующий плановому период приведены в таблице:

№ цехов	Межцеховые поставки						Конечный продукт
	1	2 4 5	3	4	5
1	15	40	70	15	25	800
2	10	0	0	20	0	150
3	0	80	50	0	50	500
4	250	10	20	10	0	0
5	320	350	800	0	30	1000

Требуется рассчитать:

1.Валовые объемы выпуска продукции каждым цехом;

2.Матрицу коэффициентов прямых затрат;

3.Проверить выполнение условия продуктивности (по всем критериям);

4.Матрицы коэффициентов полных и косвенных затрат;

5.Валовой выпуск каждого основного цеха на 3 варианта ассортиментного плана конечной продукции этих цехов в предположении, что объем заготовок в плановом периоде 4-го цеха увеличится на 2%, а 5-г о - на 10%:

I– увеличить выпуск конечной продукции каждого основного цеха на 12%;

II– увеличить выпуск конечной продукции 1-го цеха на 5%, 2-г о – на 5%, 3-го – на 6 %;

III– увеличить выпуск конечной продукции 1-го и 2-го цехов на 15%, а 3-го на 15% уменьшить;

6. Для I варианта рассчитать производственную программу каждого цеха.

1.15. В составе пищекомбината 3 основных (1,2,3) и 2 заготовительных (4,5) цеха. Данные о межцеховых потоках продукции и объемах конечного выпуска в предшествующий плановому период приведены в таблице:

№ цехов	Межцеховые поставки						Конечный продукт
	1	2 4 5	3	4	5
1	10	60	570	0	0	800
2	20	0	25	20	45	0
3	0	140	0	0	50	1500
4	250	10	200	10	0	1000
5	100	900	6800	0	15	0

Требуется рассчитать:

1.Валовые объемы выпуска продукции каждым цехом;

2.Матрицу коэффициентов прямых затрат;

3.Проверить выполнение условия продуктивности (по всем критериям);

4.Матрицы коэффициентов полных и косвенных затрат;

5.Валовой выпуск каждого основного цеха на 3 варианта ассортиментного плана конечной продукции этих цехов в предположении, что объем заготовок в плановом периоде 4-го цеха увеличится на 3%, а 5-г о - на 10%:

I– увеличить выпуск конечной продукции каждого основного цеха на 12%;

II– увеличить выпуск конечной продукции 1-го цеха на 10%, 2-г о – на 5%, 3-го – на 6 %;

III– увеличить выпуск конечной продукции 1-го и 2-го цехов на 15%, а 3-го на 10% уменьшить;

6. Для II варианта рассчитать производственную программу каждого цеха.

1.16. В составе пищекомбината 3 основных (1,2,3) и 2 заготовительных (4,5) цеха. Данные о межцеховых потоках продукции и объемах конечного выпуска в предшествующий плановому период приведены в таблице:

№ цехов	Межцеховые поставки						Конечный продукт
	1	2 4 5	3	4	5
1	15	40	60	15	25	0
2	10	100	0	20	0	150
3	0	80	50	0	150	500
4	50	10	30	10	10	0
5	320	0	7800	50	30	1000

Требуется рассчитать:

1.Валовые объемы выпуска продукции каждым цехом;

2.Матрицу коэффициентов прямых затрат;

3.Проверить выполнение условия продуктивности (по всем критериям);

4.Матрицы коэффициентов полных и косвенных затрат;

5.Валовой выпуск каждого основного цеха на 3 варианта ассортиментного плана конечной продукции этих цехов в предположении, что объем заготовок в плановом периоде 4-го цеха увеличится на 2%, а 5-г о - на 10%:

I– увеличить выпуск конечной продукции каждого основного цеха на 12%;

II– увеличить выпуск конечной продукции 1-го цеха на 5%, 2-г о – на 5%, 3-го – на 6 %;

III– увеличить выпуск конечной продукции 1-го и 2-го цехов на 15%, а 3-го на 15% уменьшить;

6. Для I варианта рассчитать производственную программу каждого цеха.

1.17.Условно экономика разделена на 4 сектора: 1 - отрасли, производящие средства производства (группа А), 2 - отрасли, производящие предметы потребления (группа Б), 3 - сельское хозяйство, 4 - прочие отрасли. Межотраслевые потоки в предшествующем плановом периоде приведены в таблице:

Отрасли производящие	Отрасли потребляющие				Конечный продукт
	Группа А	Группа Б	С/х	Прочие отрасли
Группа А	96	17	9	40	318
Группа Б	24	34	6	30	76
С/х	48	8,5	6	20	67,5
Прочие отрасли	96	17	15	10	62

Требуется:

1.По данным баланса рассчитать объемы валовой продукции, выпущенные каждой отраслью, матрицу коэффициентов прямых затрат;

Проверить выполнение условия продуктивности (по всем критериям).

2.Д ля планового периода вычислить:

Матрицы коэффициентов полных и косвенных затрат;

Валовый выпуск каждой отрасли для трех вариантов плана выпуска конечной продукции:

I– увеличить выпуск конечной продукции в каждой отрасли на 5%;

II– увеличить выпуск конечной продукции 1-ой отрасли на 4%, 2-ой – на 6%, 3-ей – на 7%, 4-ой – на 6%;

III– увеличить выпуск конечной продукции 1-ой отрасли на 4%, 2-ой отрасли – на 6%, 3-ей – на 7%, 4-ой – на 6%;

3.Рассчитать межотраслевые поставки, обеспечивающие ассортимент выпуска конечной продукции по 2-му варианту.

1.18. Условно экономика разделена на 4 сектора: 1 - отрасли, производящие средства производства (группа А), 2 - отрасли, производящие предметы потребления (группа Б), 3 - сельское хозяйство, 4 - прочие отрасли. Межотраслевые потоки в предшествующем плановом периоде приведены в таблице:

Отрасли производящие	Отрасли потребляющие				Конечный продукт
	Группа А	Группа Б	С/х	Прочие отрасли
Группа А	70	10	10	40	270
Группа Б	24	25	6	38	76
С/х	50	8	8	25	90
Прочие отрасли	96	25	15	10	62

Требуется:

1.По данным баланса рассчитать объемы валовой продукции, выпущенные каждой отраслью, матрицу коэффициентов прямых затрат;

Проверить выполнение условия продуктивности (по всем критериям).

2.Д ля планового периода вычислить:

Матрицы коэффициентов полных и косвенных затрат;

Валовый выпуск каждой отрасли для трех вариантов плана выпуска конечной продукции:

I– увеличить выпуск конечной продукции в каждой отрасли на 10%;

II– увеличить выпуск конечной продукции 1-ой отрасли на 3%, 2-ой – на 5%, 3-ей – на 5%, 4-ой – на 6%;

III– увеличить выпуск конечной продукции 1-ой отрасли на 7%, 2-ой отрасли – на 6%, 3-ей – на 7%, 4-ой – на 8%;

3.Рассчитать межотраслевые поставки, обеспечивающие ассортимент выпуска конечной продукции по 1-му варианту.

1.19. Условно экономика разделена на 4 сектора: 1 - отрасли, производящие средства производства (группа А), 2 - отрасли, производящие предметы потребления (группа Б), 3 - сельское хозяйство, 4 - прочие отрасли. Межотраслевые потоки в предшествующем плановом периоде приведены в таблице:

Отрасли	Отрасли потребляющие				Конечный продукт
производящие	Группа А	Группа Б	С/х	Прочие отрасли
Группа А	70	10	25	40	270
Группа Б	30	15	8	45	76
С/х	50	8	8	25	90
Прочие отрасли	85	40	30	35	100

Требуется:

1.По данным баланса рассчитать объемы валовой продукции, выпущенные каждой отраслью, матрицу коэффициентов прямых затрат;

Проверить выполнение условия продуктивности (по всем критериям).

2.Д ля планового периода вычислить:

Матрицы коэффициентов полных и косвенных затрат;

Валовый выпуск каждой отрасли для трех вариантов плана выпуска конечной продукции:

I– увеличить выпуск конечной продукции в каждой отрасли на 5%;

II– увеличить выпуск конечной продукции 1-ой отрасли на 4%, 2-ой – на 6%, 3-ей – на 7%, 4-ой – на 6%;

III– увеличить выпуск конечной продукции 1-ой отрасли на 4%, 2-ой отрасли – на 6%, 3-ей – на 7%, 4-ой – на 6%;

3.Рассчитать межотраслевые поставки, обеспечивающие ассортимент выпуска конечной продукции по 2-му варианту.

1.20. Условно экономика разделена на 4 сектора: 1 - отрасли, производящие средства производства (группа А), 2 - отрасли, производящие предметы потребления (группа Б), 3 - сельское хозяйство, 4 - прочие отрасли. Межотраслевые потоки в предшествующем плановом периоде приведены в таблице:

Отрасли производящие	Отрасли потребляющие				Конечный продукт
	Группа А	Группа Б	С/х	Прочие отрасли
Группа А	20	10	25	50	270
Группа Б	30	32	8	45	55
С/х	90	8	14	25	90
Прочие отрасли	85	40	30	60	80

Требуется:

1.По данным баланса рассчитать объемы валовой продукции, выпущенные каждой отраслью, матрицу коэффициентов прямых затрат;

Проверить выполнение условия продуктивности (по всем критериям).

2.Д ля планового периода вычислить:

Матрицы коэффициентов полных и косвенных затрат;

Валовый выпуск каждой отрасли для трех вариантов плана выпуска конечной продукции:

I– увеличить выпуск конечной продукции в каждой отрасли на 10%;

II– увеличить выпуск конечной продукции 1-ой отрасли на 3%, 2-ой – на 5%, 3-ей – на 5%, 4-ой – на 6%;

III– увеличить выпуск конечной продукции 1-ой отрасли на 7%, 2-ой отрасли – на 6%, 3-ей – на 7%, 4-ой – на 8%;

3.Рассчитать межотраслевые поставки, обеспечивающие ассортимент выпуска конечной продукции по 1-му варианту.

1.21.Условно экономика разделена на 4 сектора: 1 - отрасли, производящие средства производства (группа А), 2 - отрасли, производящие предметы потребления (группа Б), 3 - сельское хозяйство, 4 - прочие отрасли. Межотраслевые потоки в предшествующем плановом периоде приведены в таблице:

Отрасли производящие	Отрасли потребляющие				Конечный продукт
	Группа А	Группа Б	С/х	Прочие отрасли
Группа А	30	17	9	50	250
Группа Б	25	34	5	30	76
С/х	48	10	6	20	44
Прочие отрасли	90	17	15	10	62

Требуется:

1.По данным баланса рассчитать объемы валовой продукции, выпущенные каждой отраслью, матрицу коэффициентов прямых затрат;

Проверить выполнение условия продуктивности (по всем критериям).

2.Д ля планового периода вычислить:

Матрицы коэффициентов полных и косвенных затрат;

Валовый выпуск каждой отрасли для трех вариантов плана выпуска конечной продукции:

I– увеличить выпуск конечной продукции в каждой отрасли на 5%;

II– увеличить выпуск конечной продукции 1-ой отрасли на 4%, 2-ой – на 6%, 3-ей – на 7%, 4-ой – на 6%;

III– увеличить выпуск конечной продукции 1-ой отрасли на 4%, 2-ой отрасли – на 6%, 3-ей – на 7%, 4-ой – на 6%;

3.Рассчитать межотраслевые поставки, обеспечивающие ассортимент выпуска конечной продукции по 2-му варианту.

1.22. Условно экономика разделена на 4 сектора: 1 - отрасли, производящие средства производства (группа А), 2 - отрасли, производящие предметы потребления (группа Б), 3 - сельское хозяйство, 4 - прочие отрасли. Межотраслевые потоки в предшествующем плановом периоде приведены в таблице:

Отрасли производящие	Отрасли потребляющие				Конечный продукт
	Группа А	Группа Б	С/х	Прочие отрасли
Группа А	50	10	10	540	270
Группа Б	24	25	12	38	76
С/х	50	8	20	25	100
Прочие отрасли	80	25	15	10	65

Требуется:

1.По данным баланса рассчитать объемы валовой продукции, выпущенные каждой отраслью, матрицу коэффициентов прямых затрат;

Проверить выполнение условия продуктивности (по всем критериям).

2.Д ля планового периода вычислить:

Матрицы коэффициентов полных и косвенных затрат;

Валовый выпуск каждой отрасли для трех вариантов плана выпуска конечной продукции:

I– увеличить выпуск конечной продукции в каждой отрасли на 10%;

II– увеличить выпуск конечной продукции 1-ой отрасли на 3%, 2-ой – на 5%, 3-ей – на 5%, 4-ой – на 6%;

III– увеличить выпуск конечной продукции 1-ой отрасли на 7%, 2-ой отрасли – на 6%, 3-ей – на 7%, 4-ой – на 8%;

3.Рассчитать межотраслевые поставки, обеспечивающие ассортимент выпуска конечной продукции по 1-му варианту.

1.23. Условно экономика разделена на 4 сектора: 1 - отрасли, производящие средства производства (группа А), 2 - отрасли, производящие предметы потребления (группа Б), 3 - сельское хозяйство, 4 - прочие отрасли. Межотраслевые потоки в предшествующем плановом периоде приведены в таблице:

Отрасли	Отрасли потребляющие				Конечный продукт
производящие	Группа А	Группа Б	С/х	Прочие отрасли
Группа А	40	10	25	40	200
Группа Б	30	15	10	45	75
С/х	50	10	8	25	90
Прочие отрасли	75	40	30	30	150

Требуется:

1.По данным баланса рассчитать объемы валовой продукции, выпущенные каждой отраслью, матрицу коэффициентов прямых затрат;

Проверить выполнение условия продуктивности (по всем критериям).

2.Д ля планового периода вычислить:

Матрицы коэффициентов полных и косвенных затрат;

Валовый выпуск каждой отрасли для трех вариантов плана выпуска конечной продукции:

I– увеличить выпуск конечной продукции в каждой отрасли на 5%;

II– увеличить выпуск конечной продукции 1-ой отрасли на 4%, 2-ой – на 6%, 3-ей – на 7%, 4-ой – на 6%;

III– увеличить выпуск конечной продукции 1-ой отрасли на 4%, 2-ой отрасли – на 6%, 3-ей – на 7%, 4-ой – на 6%;

3.Рассчитать межотраслевые поставки, обеспечивающие ассортимент выпуска конечной продукции по 3-му варианту.

1.24. Условно экономика разделена на 4 сектора: 1 - отрасли, производящие средства производства (группа А), 2 - отрасли, производящие предметы потребления (группа Б), 3 - сельское хозяйство, 4 - прочие отрасли. Межотраслевые потоки в предшествующем плановом периоде приведены в таблице:

Отрасли производящие	Отрасли потребляющие				Конечный продукт
	Группа А	Группа Б	С/х	Прочие отрасли
Группа А	20	10	25	30	250
Группа Б	30	32	5	45	55
С/х	50	5	14	25	90
Прочие отрасли	85	40	30	60	170

Требуется:

1.По данным баланса рассчитать объемы валовой продукции, выпущенные каждой отраслью, матрицу коэффициентов прямых затрат;

Проверить выполнение условия продуктивности (по всем критериям).

2.Д ля планового периода вычислить:

Матрицы коэффициентов полных и косвенных затрат;

Валовый выпуск каждой отрасли для трех вариантов плана выпуска конечной продукции:

I– увеличить выпуск конечной продукции в каждой отрасли на 10%;

II– увеличить выпуск конечной продукции 1-ой отрасли на 3%, 2-ой – на 5%, 3-ей – на 5%, 4-ой – на 6%;

III– увеличить выпуск конечной продукции 1-ой отрасли на 7%, 2-ой отрасли – на 6%, 3-ей – на 7%, 4-ой – на 8%;

3.Рассчитать межотраслевые поставки, обеспечивающие ассортимент выпуска конечной продукции по 1-му варианту.

1.25. Условно экономика разделена на 4 сектора: 1 - отрасли, производящие средства производства (группа А), 2 - отрасли, производящие предметы потребления (группа Б), 3 - сельское хозяйство, 4 - прочие отрасли. Межотраслевые потоки в предшествующем плановом периоде приведены в таблице:

Отрасли производящие	Отрасли потребляющие				Конечный продукт
	Группа А	Группа Б	С/х	Прочие отрасли
Группа А	20	10	25	50	300
Группа Б	30	30	15	45	55
С/х	60	15	15	25	90
Прочие отрасли	85	40	30	90	150

Требуется:

1.По данным баланса рассчитать объемы валовой продукции, выпущенные каждой отраслью, матрицу коэффициентов прямых затрат;

Проверить выполнение условия продуктивности (по всем критериям).

2.Д ля планового периода вычислить:

Матрицы коэффициентов полных и косвенных затрат;

Валовый выпуск каждой отрасли для трех вариантов плана выпуска конечной продукции:

I– увеличить выпуск конечной продукции в каждой отрасли на 10%;

II– увеличить выпуск конечной продукции 1-ой отрасли на 3%, 2-ой – на 5%, 3-ей – на 5%, 4-ой – на 6%;

III– увеличить выпуск конечной продукции 1-ой отрасли на 7%, 2-ой отрасли – на 6%, 3-ей – на 7%, 4-ой – на 8%;

3.Рассчитать межотраслевые поставки, обеспечивающие ассортимент выпуска конечной продукции по 2-му варианту.

Контрольное задание №2. Модели сетевого планирования и управления Методические указания

Сетевой моделью называется экономико-математическая модель, отражающая весь комплекс работ и событий, связанных с реализацией проекта в их логической и технологической последовательности и связи.

Основные понятия сетевой модели: событие, работа, путь.

Работа характеризует любое действие, требующее затрат времени или ресурсов.

Событиями называются начало или завершение одной или нескольких работ.

Путь – цепочка следующих друг за другом работ (дуг), соединяющих начальную и конечную его вершины.

При расчетах для сетевой модели определяются следующие характеристики ее элементов:

Характеристики событий

1. Ранний срок свершения события

t_p(0) = 0, (2.1)

t_p(j) = max_i {t_p(i) + t(ij)}, j = 1N (2.2)

характеризует самый ранний срок завершения всех путей в него входящих. Этот показатель определяется «прямым ходом» по графу модели, начиная с начального события сети.

2. Поздний срок свершения события

t_п(N) = t_p(N), (2.3)

t_п(i) = min_j {t_п(j) - t(ij)}, i = 1N-1 (2.4)

характеризует самый поздний срок, после которого остается ровно столько времени, сколько требуется для завершения всех путей следующих за этим событием. Этот показатель определяется “обратным ходом” по графу модели, начиная с завершающего события сети.

3. Резерв времени события

R(i) = t_п(i) - t_p(i) (2.5)

показывает, на какой максимальный срок можно задержать наступление этого события, не вызывая при этом увеличения срока выполнения всего комплекса работ.

Характеристики работы (i,j)

1. Ранний срок начала работ t_pн(i,j)=t_p(i). (2.6)

2. Ранний срок окончания работы t_po(i,j)= t_pн(i,j) + t_ij =t_p(i) + t_ij (2.7)

3. Поздний срок начала работы: t_пн(i,j)=t_п(j) – t_ij. (2.8)

4. Поздний срок окончания работы: t_по(i,j) = t_п(j). (2.9)

5. Резервы времени работ:

• полный резерв R_п(i,j) = t_п(j) - t_p(i) - t_ij. (2.10)

• частный резерв R₁(i,j) = R_п(i,j) - R(i) = t_п(j) – t_п(i) - t_ij. (2.11)

• свободный резерв R_с(i,j) = R_п(i,j) - R(j) = t_p(j) – t_p(i) - t_ij. (2.12)

• независимый резерв R_н(i,j) = R_п(i,j) - R(i) – R(j) = t_p(j) – t_п(i) - t_ij. (2.13)

В сетевой модели можно выделить так называемый критический путь. Критический путь L_кр состоит из работ (i,j), у которых полный резерв времени равен нулю R_п(i,j)=0, кроме этого, резерв времени R(i) всех событий i на критическом равен 0. Длина критического пути определяет величину наиболее длинного пути от начального до конечного события сети и равна t_кр=t_p(N)= t_п(N). Заметим, что в проекте может быть несколько критических путей.

Для оценки трудности своевременного выполнения работ служит коэффициент напряженности работ:

К_н(i,j) = ( t(L_max)-t`_кр ) / (t_кр-t^'_кр) = 1 – R_п(i,j) / (t_кр-t^'_кр), (2.14)

где t(L_max(i,j)) – продолжительность максимального пути L_max(i,j), проходящего через работу (i,j);

t^'_кр – продолжительность отрезка пути L_max(i,j), совпадающего с критическим путем.

Оптимизация проекта по времени.

Сокращение времени завершения проекта, как правило, связано с привлечением дополнительных средств (количес­тво рабочих, сверхурочные работы). Рассмотрим два примера задачи оптимизации проекта по времени с при­влечением дополнительных средств.

Постановка задачи 1. Для сокращения времени выполнения проекта выделяется некоторая сумма дополнительных средств В. Задан сетевой график выполнения проекта, продолжительность каждой работы равна t_ij. Известно, что вложение дополнительных средств х_ij в работу (i,j) сокращает время ее выполнения от t до t'_ij, причем эта зависимость выражается как t'_ij ⁼ f_ij(x_ij)  t_ij (f_ij — известные функции). Для каждой работы существует минимально возможное время ее выполнения d_ij.

Если предположить, что продолжительность выполнения ра­бот линейно зависит от дополнительно вложенных средств и выражается соотношением t'_ij = t_ij - k_ij x_ij , где k_ij — технологические коэффициенты использования дополнитель­ных средств, то будем иметь задачу линейного программирования.

Требуется определить время начала t^H_ij и окончания t°_ij вы­полнения работ, а также количество дополнительных средств х_ij, которые необходимо вложить в работы (i,j), чтобы общее время выполнения проекта было минимальным, сумма вложенных дополнительных средств не превышала величины В, время выполнения каждой работы было не меньше минимально возможного времени.

Математически условия задачи можно записать следую­щим образом:

t_кр = t^o _n-1,n (min) (2.15)

 B; (2.16)

t°_ij - t^H_ij d_ij , (2.17)

t°_ij - t^H_ij = f_ij , (2.18)

t^H_rj  t°_ir , (2.19)

t°_ij  0, t^H_ij  0. (2.20)

Выражение (2.15) – целевая функция. Ограничение (2.16) определяет сумму вложенных допол­нительных средств: она не должна превышать величины В. Ограничения (2.17) показывают, что продолжительность каждой работы должна быть не менее минимально возмож­ной ее продолжительности. Ограничения-равенства (2.18) показывают зависимость продолжительности каждой работы от вложенных в нее дополнительных средств. Ограничения (2.19) обеспечивают выполнение условий предшествования работ в соответствии с топологией сети: время начала выпол­нения каждой работы должно быть не меньше времени окон­чания непосредственно предшествующих ей работ. Ограничение (2.20) — условие неотрицательности.

Если в последнее событие сети n входят сразу несколько работ, то необходимо добавить фиктивную работу (n,n+1), время выполнения которой равно нулю и до­бавить ограничение (t°_n,n+1 - t^H_n,n+1 = 0) в (2.17).

Постановка задачи 2. Пусть задан срок выполнения проекта tо, а расчетное время t_крto. В этом случае оптимизация комплекса работ сводится к сокращению продолжительности критического пути. Задача заключается в определении вели­чины дополнительных вложений x_ij в отдельные работы про­екта с тем, чтобы общий срок его выполнения не превышал заданной величины to, а суммарный расход дополнительных средств был минимальным. Время выполнения каждой рабо­ты должно быть не меньше минимально возможного времени d_ij.

Математическая запись этой задачи:

F(x)= (min)

t^o _n-1,n  to,

t°_ij - t^H_ij d_ij ,

t°_ij - t^H_ij = f_ij ,

t^H_rj  t°_ir ,

t°_ij  0, t^H_ij  0.

Смысл ограничений аналогичен соответствующим огра­ничениям постановки задачи 1.

В каждом варианте в сетевой график добавляется еще одна работа.

При оптимизации графика рекомендуется построить таблицу вида

Работы	tij	dij	kij	tн(ij)	t0(ij)	xij	t0(ij)- tн(ij)	tij-kij*xij
1	2	3	4	5	6	7	8	9

В таблице заполняются столбцы 1-4. В столбцы 8-9 записываются формулы. В каждом варианте в ячейке в конце столбца xij рассчитывается сумма xij.

Задача решается при помощи функции Сервис - «Поиск решения».

В поле «Установить целевую ячейку» команды «Поиск решения» выделите ячейку со значением целевой функции модели (это будет или ячейка с суммой xij или ячейка t₀(n-1,n), т.е. время окончания последней работы). Чтобы минимизировать значение целевой ячейки, установите соответствующее положение переключателя.

В поле «Изменяя ячейки» введите адреса переменных модели, выделяя блок этих ячеек (во всех вариантах это будут столбцы t_н(ij), t₀(ij), xij).

Щелкните по полю Ограничения, после чего введите ограничения, накладываемые на решение задачи. Для этого нажмите кнопку Добавить. В поле Ссылка на ячейку выберите ячейку или диапазон ячеек, на значения которых накладываются ограничения. Во всех вариантах ограничения

tо_ij - tн_ij d_ij ,

tо_ij - tн_ij = tij-kij*xij,

tн_rj  tо_ir

будут одинаковы, только в одних вариантах добавится ограничение t^o _n-1,n  to, где to берется по варианту (ограничение на время), а в других - это будет ограничение  B, где В берется по варианту (ограничение на затраты).

Чтобы ввести ограничение и приступить к набору нового, нажмите кнопку Добавить, а чтобы вернуться в диалоговое окно Поиск решения, нажмите кнопку OK.

В окне Параметры поиска решения для решения линейных задач надо установить флажки Линейная модель и Неотрицательные значения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нажмем кнопку OK и вернемся в окно команды Поиск решения. Затем нажмем кнопку Выполнить, и, если все сделано правильно, то в таблице данных получим результаты решения задачи.

Пример. Дан сетевой график, найти все характеристики событий и работ.

Рис.2.1. Сетевой график с характеристиками событий

1.Рассчитаем характеристики событий. Для наглядности каждое событие сетевого графика разделено на 4 сектора. Верхний сектор соответствует номеру события, в левом секторе записан ранний срок t_p(i) наступления события i, в правом – поздний срок t_п(i) наступления события i, в нижнем секторе представлен резерв времени R(i) события i. Эти же характеристики представлены в таблице, приведенной ниже.

i	tp(i)	tп(i)	R(i)
1	0	0	0
2	4	4	0
3	5	7	2
4	4	10	6
5	11	11	0
6	12	12	0
7	16	16	0

Анализ таблицы и сетевого графика показывает, что критический путь имеет вид (1-2-5-6-7), а его длина равна t_кр=16.

2. Перейдем к определению характеристик работ. Отдельная работа может начаться и окончиться в ранние, поздние или другие промежуточные сроки. В дальнейшем при оптимизации сетевого графика возможно любое размещение работ в заданном интервале.

Все расчеты сведены в табл.3.2.(столбцы 2-9)

Таблица 3.2.

работы	tij	tрн(ij)	tр0(ij)	tпн	tп0=tп(j)	Rп	R1	Rc	Rн	Кн
			(2+1)	(5-1)
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
(1,2)	4	0	4	0	4	0	0	0	0	--
(1,3)	5	0	5	2	7	2	4	2	2	0,8
(1,4)	4	0	4	6	10	6	6	0	0	0,5
(2,3)	1	4	5	6	7	2	2	0	0	0,7
(2,5)	7	4	11	4	11	0	0	0	0	--
(2,7)	8	4	12	8	16	4	4	4	4	0,4
(3,5)	4	5	9	7	11	2	0	2	0	0,7
(4,6)	2	4	6	10	12	6	0	6	0	0,5
(5,6)	1	11	12	11	12	0	0	0	0	--
(5,7)	3	11	14	13	16	2	2	2	2	0,6
(6,7)	4	12	16	12	16	0	0	0	0	--

Анализ таблицы и сетевого графика показывает, что критический путь имеет вид (1-2-5-6-7), а его длина равна t_кр=16.

3. После нахождения критического пути (1-2-5-6-7) длины 16 перейдем к определению коэффициентов напряженности работ. Рассмотрим работу (3,5) и найдем все полные пути, проходящие через эту работу, и соответствующие им длины:

L₁: 1-2-3-5-7; t(L₁)=12 ;

L₂: 1-3-5-7; t(L₂)=12 ;

L₃: 1-3-5-6-7; t(L₃)=14 ;

L₄: 1-2-3-5-6-7; t(L₄)=14 .

Через работу (3,5) проходит два максимальных пути длины 14. Выберем второй из них. Тогда t^'_кр=9 - длина части (1-2, 5-6-7) пути (1-2- 3-5-6-7), совпадающей с критическим путем (1-2-5-6-7). Воспользуемся формулой расчета коэффициента напряженности, в результате получим, что

R_н(3,5) = 1-R_п(3,5) / (t_кр-t^'_кр)=1-2/(16-9)=0,7.

Для остальных работ коэффициент напряженности находится аналогичным способом.

Пример. Оптимизация сетевого графика.

Для сокращения срока реализации проекта, представленного сетевым графиком (рис.2.2), заказчик выделил 14 ед. дополнительных средств. Продолжительность выполнения работ линейно зависит от дополнительно вло­женных средств и выражается соотношением

t'_ij = t_ij - k_ij x_ij .

Известно, что k₁₂ = 0,1; k₁₃ = 0,2; k₂₃ = 0,5; k₂₄ = 0,3; k₃₅ = 0,6; k₄₅ = 0,1. Над каждой работой поставлены ее продолжитель­ность t_ij и минимально возможное время выполнения d_ij .

Рис. 2.2

Требуется оптимизировать сетевой график по времени, то есть найти такие t^н _ij, t° _ij , x _ij, чтобы:

а)время выполнения всего проекта было минимальным;

б)сумма дополнительно вложенных средств не превышала 14 ед.;

в)продолжительность выполнения каждой работы была не меньше заданной величины d_tj.

Добавим на сетевом графике фиктивную работу (5, 6), как показано на рис. 2.3.

Рис. 2.3

Тогда целевая функция запишется в виде t_кр = t° _5,6 ( min)

Запишем ограничения задачи:

а) сумма вложенных средств не должна превышать их на­личного количества х₁₂ + х₁₃ +х₄₅ + х ₂₃+ х_{2 4}+ х₃₅  14;

б) продолжительность выполнения каждой работы дол­жна быть не меньше минимально возможного времени:

t⁰₁₂-t^н₁₂ 6; t⁰₁₃-t^н₁₃  12; t⁰₂₃-t^н₂₃ 5; t⁰₂₄-t^н₂₄ 6;

t⁰₃₄-t^н₃₄ = 0; t⁰₃₅ - t^н₃₅  10; t⁰₄₅ - t^н₄₅ 4; t⁰₅₆-t^н₅₆ =0;

в)зависимость продолжительности работ от вложенных средств

t⁰₁₂-t^н₁₂ =10-0,1 х₁₂ ; t⁰₁₃-t^н₁₃ = 20-0,2 х₁₃; t⁰₂₄-t^н₂₄ = 11- 0,3 х_{2 4}; t⁰₃₅ - t^н₃₅ = 16-0,6 х₃₅ ; t⁰₄₅-t^н₄₅= 6 – 0,1 х₄₅ ; t⁰₂₃-t^н₂₃ =12 – 0,5 х ₂₃.

г) время начала выполнения каждой работы должно быть не меньше времени окончания непосредственно предшеству­ющей ей работы

t^н₁₂ = 0; t^н₁₃ = 0; t^н₂₃ t⁰₁₂; t^н₃₄ t⁰₁₃ ; t^н₃₄ t⁰₂₃ ;t^н₂₄ t⁰₁₂; t^н₃₅  t⁰₁₃; t^н₃₅  t⁰₂₃ ; t^н₄₅  t⁰₂₄; t^н₅₆  t⁰₃₅ ; t^н₅₆  t⁰₄₅; t^н₄₅  t⁰₃₄ .

д) условие неотрицательности неизвестных

t^H_ij 0; t°_ij  0; t°_ij  0, (i, j) U.

Решив данную задачу симплекс-методом на ПЭВМ, получаем:

t^н₁₂ = 0; t°₁₂ = 10; t^н₁₃ = 0; t⁰₁₃= 20; t^н₂₃ = 10; t⁰₂₃= 20;

t^н₂₄= 10; t°₂₄ = 21; t^н₃₄ = 20; t⁰₃₄= 20; t^н₃₅ = 20; t°₃₅ = 30;

t^н₄₅= 24; t°₄₅ = 30; t^H₅₆ = 30; t⁰₅₆ = 30;x₁₂ = 0; x₁₃ = 0; x₂₃ = 4; x₂₄ = 0; x₃₅ = 10; x₄₅ = 0;t_KP = 30.

Таким образом, при дополнительном вложении 14 ед. комплекс работ может быть выполнен за 30 ед. времени. При этом средства распределятся следующим образом: 4 ед. в ра­боту (2, 3) и 10 ед. в работу (3, 5) (рис.2.4).

Рис. 2.4

Задания для самостоятельного решения

1. Построить сетевой график (длина работы - t_ij )

2. Выделить критический путь и найти его длину.

3. Определить резервы времени каждого события .

4. Определить резервы времени (полные, частные первого вида, свободные и

независимые) всех работ и коэффициенты напряженности работ, не лежащих на критическом пути.

5. Выполнить оптимизацию сетевого графика по времени.

Работы	tij	dij	kij	tij	dij	kij	tij	dij	kij	tij	dij	kij	tij	dij	kij
	В-1			В-2			В-3			В-4			В-5
1,2	10	6	0,6	11	5	0,6	16	14	0,6	9	5	0,1	8	5	0,5
1,3	8	5	0,1	7	2	0,1	4	2	0,1	15	11	0,1	5	4	0,2
2,3	14	10	0,3	4	3	0,4	8	3	0,4	7	4	0,4	3	1	0,4
2,4	6	2	0,8	8	6	0,8	5	2	0,8	9	3	0,8	12	8	0,8
3,4	5	4	0,9	9	5	0,9	10	7	0,5	4	2	0,9	14	6	0,9
3,5	12	7	0,5	13	10	0,2	8	3	0,2	6	5	0,2	3	2	0,2
4,5	4	2	0,3	15	8	0,3	3	2	0,6	11	8	0,7	7	3	0,3
	В=210			to=25			В=180			to=18			В=150

Работы	tij	dij	kij	tij	dij	kij	tij	dij	kij	tij	dij	kij	tij	dij	kij
	В-6			В-7			В-8			В-9			В-10
1,2	9	6	0,6	2	1	0,6	10	3	0,6	9	5	0,1	14	5	0,5
1,3	8	3	0,1	7	2	0,1	4	2	0,1	8	6	0,1	5	2	0,2
2,4	14	12	0,3	6	2	0,4	9	1	0,4	7	1	0,4	3	1	0,4
2,5	16	2	0,8	8	6	0,8	5	2	0,8	13	3	0,8	12	5	0,8
3,4	5	2	0,9	19	15	0,9	10	6	0,5	4	2	0,9	13	6	0,9
3,5	12	7	0,5	13	10	0,2	5	3	0,2	16	10	0,2	3	2	0,2
4,5	4	2	0,3	15	4	0,3	3	2	0,6	11	8	0,7	7	2	0,3
	to=16			В=200			to=19			В=250			to=21

Работы	tij	dij	kij	tij	dij	kij	tij	dij	kij	tij	dij	kij	tij	dij	kij
	В-11			В-12			В-13			В-14			В-15
1,2	9	6	0,6	2	1	0,6	10	3	0,6	9	5	0,1	14	5	0,5
1,3	8	3	0,1	7	2	0,1	4	2	0,1	8	6	0,1	5	2	0,2
1,4	14	12	0,3	6	2	0,4	9	1	0,4	7	1	0,4	3	1	0,4
2,3	16	2	0,8	8	6	0,8	5	2	0,8	13	3	0,8	12	5	0,8
2,5	5	2	0,9	19	15	0,9	10	6	0,5	4	2	0,9	13	6	0,9
3,5	12	7	0,5	13	10	0,2	5	3	0,2	16	10	0,2	3	2	0,2
4,6	4	2	0,3	15	4	0,3	3	2	0,6	11	8	0,7	7	2	0,3
5,6	10	7	0,4	11	8	0,7	5	4	0,2	12	6	0,5	6	4	0,9
	В=165			to=22			В=140			to=20			В=180

Работы	tij	dij	kij	tij	dij	kij	tij	dij	kij	tij	dij	kij	tij	dij	kij
	В-16			В-17			В-18			В-19			В-20
1,2	7	4	0,6	2	1	0,6	10	3	0,6	9	5	0,1	14	5	0,5
1,3	5	3	0,1	7	2	0,1	4	2	0,1	13	6	0,1	5	2	0,2
2,5	14	12	0,3	6	2	0,4	9	1	0,4	7	1	0,4	3	1	0,4
3,4	16	2	0,8	13	6	0,8	5	2	0,8	13	3	0,8	12	5	0,8
3,5	5	2	0,9	19	15	0,9	11	6	0,5	4	2	0,9	10	6	0,9
4,6	12	7	0,5	13	10	0,2	5	3	0,2	16	10	0,2	3	2	0,2
5,6	4	2	0,3	15	4	0,3	3	2	0,6	11	8	0,7	7	2	0,3
	to=24			В=220			to=17			В=245			to=18

Работы	tij	dij	kij	tij	dij	kij	tij	dij	kij	tij	dij	kij	tij	dij	kij
	В-21			В-22			В-23			В-24			В-25
1,2	10	6	0,6	11	5	0,6	16	14	0,6	9	5	0,1	8	5	0,5
1,4	8	5	0,1	17	2	0,1	4	2	0,1	15	11	0,1	5	4	0,2
2,3	14	10	0,3	4	3	0,4	8	3	0,4	7	4	0,4	3	1	0,4
3,5	6	2	0,8	8	6	0,8	5	2	0,8	9	3	0,8	10	8	0,8
3,6	7	4	0,9	9	5	0,9	14	7	0,5	4	2	0,9	14	6	0,9
4,6	12	7	0,5	13	10	0,2	8	3	0,2	8	5	0,2	3	2	0,2
5,6	6	2	0,3	15	8	0,3	3	2	0,6	11	8	0,7	7	3	0,3
	В=270			to=21			В=150			to=22			В=120