Министерство образования Свердловской области

МОУ Лицей 130

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА ПО ФИЗИКЕ

Тема «ОСОБЕННОСТИ СЛОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ МАЯТНИКА МАКСВЕЛЛА»

Исполнители: Ученики 10 класса

Воротников Владислав

Осинцев Степан

Учитель:

Научный руководитель: к.ф.м.н. Прокопьев

Екатеринбург, 2011 г.

Содержание.

1. Введение.

2. История вопроса.

3. Динамика вращательного движения. Момент инерции.

4. Конструкции маятника Максвелла.

5. Расчёт динамических характеристик маятника Максвелла.

6. Уравнения движения маятника.

7. Описание экспериментальной установки и особенности конструкции.

8. Экспериментальное определение ускорения и момента инерции.

9. Сравнение опытных данных с теоретическими расчётами.

10. Оценка времени и силы удара при смене направления движения маховика.

11. Графики перемещения скорости, ускорения, угловой скорости, углового ускорения маятника Максвелла в зависимости от времени.

12. Сложное непериодическое движение маятника Максвелла.

13. Срыв маятника в крутильные колебания.

14. Хаотические движения маятника и затухание.

15. Маятник Максвелла – как параметрические качели.

16. Возможное применение маятника Максвелла для обнаружения фрактальной структуры сплошных тел.

17. Выводы.

18. Литература.

Введение

Издревле людей привлекало внимание явление превращения поступательного механического движения во вращательное. Примеров тому немало. Но среди всех примеров один из наиболее ярких и интересных с научной точки зрения является пример маятника Максвелла.

В отличие от обычного маятника, маятник Максвелла представляет собой массивный цилиндрический маховик (диск), насаженный на цилиндрическую ось и подвешенный за две тонкие и прочные нити (см. рисунок).

Поворачивая маховик нить наматывают на ось, и, тем самым, поднимают маховик вверх. Затем маховик освобождают и маховик под действием силы тяжести начинает падать вниз, раскручивая при этом себя и ось. В нижнем положении происходит кратковременный удар и смена направления движения. Маховик по инерции, вращаясь в замедляющемся темпе, начинает накручивать нить и подниматься вверх до полной остановки. Затем процесс вновь и вновь повторяется.

Принцип работы маятника Максвелла основан на основных законах физики – законе сохранения энергии, который утверждает, что полная механическая энергия замкнутой консервативной системы во время движения системы не изменяется. (Замкнутая – значит, нет внешних сил, совершающих работу и увеличивающих или уменьшающих механическую энергию системы; консервативная – нет диссипативных (трения, сопротивления и т.д.) сил, превращающих механическую энергию системы во внутреннюю (тепло) и законе сохранения импульса) и законе сохранения импульса: полный импульс замкнутой системы – величина сохраняющаяся. Что же касается третьего закона механики – закона сохранения момента импульса системы, то его обычно в данной задаче не рассматривали, но здесь мы постараемся также детально обсудить.

Движение всякой частицы маховика можно представить как поступательное движение

со скоростью , равной скорости центра масс, и вращение вокруг геометрической

оси с угловой скоростью . Полную скорость любой точки получим, прибавив (векторно) к скорости , обусловленной вращением, скорость поступательного движения . В точке, где нить отделяется от оси, эта полная скорость равна нулю. Через эту точку проходит мгновенная ось вращения.

Подсчитаем кинетическую энергию тела, совершающего плоское движение. Если рассматривать движение тела как чистое вращение вокруг мгновенной оси, то элемент массы m_i имеет в данный момент линейную скорость v_i =  r_i , где r_i – расстояние от этого элемента до мгновенной оси. Кинетическая энергия отдельного элемента тела будет:

E_k,i = m_iv_i²/2 = m_i²r_i²/2

а кинетическая энергия вращения всего тела

(1)

где – момент инерции тела относительно мгновенной оси. Но по теореме Гюйгенса - Штейнера I₁ = I_o + mr_o² , где r_o – расстояние от мгновенной оси до центра тяжести (в нашем случае – это радиус оси, на которую намотаны нити) и I_o – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр тяжести. Поэтому из (1) получим:

.

Введя в это выражение линейную скорость центра масс v = r, получим

.

Полная кинетическая энергия плоского движения твердого тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр масс тела.

По закону сохранения энергии в механике полная энергия Е изолированной системы, в которой действуют только упругие силы и силы всемирного тяготения, есть величина постоянная:

E = E_k + U = const

где U – потенциальная энергия.

В работе в начальный момент времени маятник находится в верхнем положении и обладает потенциальной энергией U и нулевой кинетической энергией: E_k = 0. Когда маятник опустится и пройдет путь h, то потенциальная энергия U₁ = mgh перейдет в кинетическую энергию E поступательного и вращательного движения E_k2: U₁ = E_k2 или v

(2)

Так как  = v/r, где r – радиус оси, на которую намотаны нити, то уравнение (2) принимает вид:

Отсюда:

. (3)

Движение маятника равноускоренное, следовательно, можно применить следующие формулы для пути и скорости:

h = v_ot + at²/2

v = v_o + at

В работе начальная скорость , тогда

h = at²/2

v = at

Из этой системы уравнений находим:

v = 2h/t

Подставим полученное значение V в уравнение (3):

(4)

Эту же формулу можно получить другим

способом. На диск массы m действуют сила тяже-

сти mg и натяжений нитей f. Ускорение а центра

тяжести диска определяется уравнением:

ma = mg – f (5)

Ось моментов выберем так, чтобы она про-

ходила через центр тяжести диска (т.е. совпадала

с его геометрической осью О). Момент силы тяже-

сти относительно этой оси равен нулю, а момент

силы натяжения нитей M = fr, и второй закон Ньютона

для вращательного движения маятника имеет вид:

I_o = I_od/dt = fr (6)

Из кинетических соображений легко найти связь между линейным ускорением а и угловым ускорением  = d /dt . Так как центр тяжести опускается как раз на столько, на сколько раскручивается нить, то его перемещение h и угол поворота диска  связаны соотношением h = r. Дифференцируя это соотношение дважды по времени, получим а = rd /dt , и уравнение (6) можно переписать в виде:

(I_o/r)a = fr (7)

Из уравнения (5) найдем:

(8)

Подставив (7) в (8), получим:

.

Ускорение а найдем из формулы пройденного пути маятника h:

a = 2h/t²

и подставив в уравнение (7), получим

Это выражение аналогично формуле (4). Поскольку диаметр легче измерить, чем радиус, заменим r на 0,5d и получим окончательно такую формулу для I_o :

(9)

Здесь I_o – момент инерции маятника, m – масса маятника, d – диаметр валика, на который наматываются нити, g – ускорение свободного падения, h – расстояние, пройденное центром маятника за время t.

Теперь уточним значение массы m и диаметра d. В данной работе маятник Максвелла представляет собой маховик с осью, на которые плотно насаживается съемное кольцо:

m = m_o + m_м (10)

m_o – масса оси маятника, m_м – масса собственно маховика,

d = d_o + 2d_п (11)

где d_o – внешний диаметр оси маятника, d_н – диаметр нити подвески.