- •Раздел 4 элементы математического анализа
- •Глава 7. Числовые функции
- •7.1. Определение функции
- •Четность и нечетность.
- •Элементарные функции
- •Степенная функция
- •Показательная функция
- •Логарифмическая функция
- •Тригонометрические функции
- •Обратные тригонометрические функции
- •Преобразование графиков
- •Глава 7
- •Глава 8. Пределы и непрерывность функции
- •8.1. Определение предела функции
- •8.2. Правила раскрытия неопределенностей
- •8.3. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва
- •8.4. Второе определение непрерывности
- •Глава 8
8.4. Второе определение непрерывности
Рассмотрим функцию в некоторой фиксированной точке х (рис. 8.6). Перейдем от значения х к другому значению аргумента , при котором функция принимает значение . Точки х и должны принадлежать области определения функции.
Разность между новым и первоначальным значением аргумента называется приращением аргумента и обозначается .
Разность между значением функции в новой точке и ее значением в первоначальной точке называется приращением функции и обозначается . Поскольку , величина .
Приращение аргумента можно задавать произвольно. Приращение функции зависит от приращения аргумента Δх и от точки х. Задав приращение аргумента Δх, можно вычислить приращение функции Δy.
Пример 8.14. Рассмотрим функцию в точке . Дадим аргументу х приращение и перейдем к новой точке
,
в которой функция принимает значение
.
Приращение функции Δy будет равно
.
Запишем условие непрерывности функции в точке с помощью приращений функции и аргумента.
Пусть – некоторая точка, в которой определена функция . Перейдем от точки к новой точке х. При этом приращение аргумента , приращение функции .
Тогда условие непрерывности функции в точке можно представить так: если , то . Иначе это записывается следующим образом: если , то . Так как , а , определение непрерывности функции в точке можно сформулировать так: функция называется непрерывной в точке , если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Свойства функций, непрерывных в точке:
-
если функции и непрерывны в точке , то их сумма непрерывна в этой точке;
-
если функции и непрерывны в точке , то их произведение также непрерывно в точке ;
-
если функции и непрерывны в точке , то их отношение является непрерывной функцией в этой точке, если знаменатель не равен нулю в этой точке;
-
если и непрерывные функции, то сложная функция также непрерывна;
-
всякая элементарная функция непрерывна в своей области определения.
Свойства функций, непрерывных на отрезке:
-
функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке (рис. 8.7) ВСТАВИТЬ
-
функция, непрерывная на отрезке, имеет на этом отрезке наименьшее значение m и наибольшее значение M (рис.8.8).
-
Если функция непрерывна на отрезке и значения на концах отрезка и имеют противоположные знаки, то внутри отрезка имеется точка такая, что (рис. 8.9).
Интересно отметить, что функции, непрерывные на интервале , данными свойствами могут не обладать.
Например, функция на интервале (0; 1) непрерывна, но при x, стремящемся к нулю справа, неограниченно возрастает. Функция непрерывна на интервале (0; 1), но не имеет на этом интервале ни наименьшего, ни наибольшего значения.
УПРАЖНЕНИЯ
Найти пределы функции при различных значениях а.
8.15. , 1) ; 2) ; 3) .
8.16. , 1) ; 2) ; 3) .
8.17. , 1) ; 2) ; 3) .
8.18. , 1) ; 2) ; 3) .
8.19. , 1) ; 2) ; 3) .
8.20. , 1) ; 2) ; 3) .
8.21. .8.22. . 8.23. . 8.24. . 8.25. . 8.26. . 8.27. . 8.28. . 8.29. . 8.30. . 8.31.. 8.32. . 8.33. . 8.34. . 8.35. . 8.36. . 8.37. . 8.38. . 8.39. . 8.40. . 8.41. . 8.42. . 8.43. . 8.44. . 8.45. . 8.46. . 8.47. . 8.48. . 8.49. . 8.50. . 8.51. . 8.52. . 8.53. . 8.54. . 8.55. . 8.56. . 8.57. .8.58. . 8.59. . 8.60. . 8.61. . 8.62. . 8.63. . 8.64. .
Вычислить односторонние пределы функций.
8.65. а); б) . 8. 66. а) ; б) . 8.67. а); б) . 8.68. а) ; б) . 8.69. а); б) . 8.70. , где . 8.71. . 8.72. а) ; б) .
Найти точки разрыва и построить график функций.
8.73.. 8.74. 8.75. 8.76. . 8.77. . 8.78. . 8.79. . 8.80. 8.81. 8.82. 8.83. 8.84. 8.85. 8.86. . 8.87. 8.88.
Исследовать данные функции на непрерывность в указанных точках.
8.89. 8.90. 8.91.
О Т В Е Т Ы К У П Р А Ж Н Е Н И Я М