- •Раздел 5 основы дифференциального исчисления
- •Глава 9. Производная функции
- •9.1. Определение производной.
- •9.2. Связь между непрерывностью и существованием производной
- •9.3. Таблица производных
- •9.4. Правила вычисления производной
- •9.5. Производные высших порядков
- •Глава 9
- •Глава 10. Приложения производной
- •10.1. Свойства дифференцируемых функций
- •10.2. Правило Лопиталя
- •10.3. Возрастание и убывание функций. Экстремумы функции
- •10.4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •10.5. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба
- •10.6. Асимптоты графика функции
- •10.7. Общая схема исследования функций и построение их графиков
- •Глава 10
- •Глава 11. Дифференциал функции
- •11.1. Понятие дифференциала функции
- •11.2. Применение дифференциала в приближенных вычислениях
- •Глава 11
Глава 11. Дифференциал функции
11.1. Понятие дифференциала функции
Рассмотрим функцию имеющую производную в данной точке . Согласно (9.4) приращение функции в точке можно представить в виде , где стремится к нулю при , стремящемся к нулю.
Приращение функции состоит из двух частей: и . Главная часть приращения функции – это первое слагаемое . Вторая часть при представляет собой произведение двух бесконечно малых величин, следовательно, мало влияет на величину приращения функции .
Дифференциалом функции называется главная часть приращения функции, линейная относительно приращения аргумента.
Дифференциал функции обозначается :
(11.1) |
Рассмотрим функцию и найдем . Производная , поэтому . С другой стороны, из равенства следует равенство , следовательно, , или
, |
(11.2) |
т.е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной. Формулу для дифференциала функции (11.1) на этом основании можно записать в виде
. |
(11.3) |
Пример 11.1. Дифференциал функции равен
Пример 11.2. Дифференциал функции равен
.
Свойства дифференциала:
1) , где .
2) .
3) .
4) .
5) .
11.2. Применение дифференциала в приближенных вычислениях
Приращение функции , откуда следует . Из изложенного выше следует, что приращение функции в точке можно представить в виде . Поскольку величина мала по сравнению с приращением аргумента , справедлива следующая приближенная формула:
. |
(11.4) |
Поэтому при достаточно малых получаем формулу приближенного вычисления значения функции при помощи дифференциала:
. (11.5)
Пример 11.3. Вычислить приближенно .
Необходимо вычислить значение функции в точке . Используем формулу (11.5). В качестве возьмем число, наиболее близкое к 16,64, но такое, чтобы был известен , при этом
должно быть достаточно малым. Очевидно, следует взять , . Находим . Вычислим дифференциал функции . Используя формулу , и получаем . Подставляя , получаем . В соответствии с (11.5) .
УПРАЖНЕНИЯ
Найти дифференциал функции
11.4. . 11.5. . 11.6. . 11.7. . 11.8. . 11.9. . 11.10. .
Используя понятие дифференциала, вычислить
11.11. . 11.12. . 11.13. . 11.14. . 11.15. . 11.16. . 11.17. . 11.18. . 11.19. .
О Т В Е Т Ы К У П Р А Ж Н Е Н И Я М
Глава 11
11.4. . 11.5. . 11.6. . 11.7. . 11.8. . 11.9. . 11.10. . 11.11. 2,02. 11.12. 3,03. 11.13. 2,8. 11.14. 1,1. 11.15. 0,531. 11.16. 0,811. 11.17. 7,76. 11.18. 1,9938. 11.19. 0,4849.