2. Висоти трикутника. Ортоцентр

Висотою трикутника, опущеною з даної вершини, називається перпендикуляр, проведений з цієї вершини до прямої, що містить протилежну сторону трикутника.

Теорема про висоти трикутника. Прямі, що містять висоти трикутника, перетинаються в одній точці.

Доведення

Через вершини трикутника АВС (рис. 6) проведемо прямі, паралельні його сторонам. Утворився трикутник А₁В₁С_1. Прямі, яким належать висоти трикутника АВС, перпендикулярні до сторін трикутника А₁В₁С₁ в їх серединах. Отже, вони мають спільну точку Н – центр кола, описаного навколо трикутника А₁В₁С₁, тобто прямі АН₁, ВН₂ і СН₃ перетинаються в одній точці.

Рис. 6

Точка перетину прямих, що містять висоти трикутника, називається ортоцентром.

Твердження 1. Точка, симетрична ортоцентру відносно прямої, що містить сторону трикутника, лежить на колі, описаному навколо цього трикутника.

Твердження 2. Ортоцентр ділить висоти трикутника на частини, добуток яких є сталим для даного трикутника.

Задача (Пряма Ейлера). Довести, що у будь-якому трикутнику АВС (рис. 7) центр О описаного кола, точка М перетину медіан і ортоцентр Н належать одній прямій (прямій Ейлера), при чому 2ОМ=МН.

Доведення

Оскільки точка Н є центром кола, описаного навколо трикутника А₁В₁С₁, то точки О і Н відповідно гомотетичні при гомотетії з центром М і коефіцієнтом k=-2, а отже, твердження доведено.

Рис. 7

Задача. Довести, що в трикутнику АВС 2ОМ₁=АН.

Доведення

Оскільки точка М₁ – середина відрізка ВС, а точка А – середина відрізка В₁С₁, то для розглядуваної гомотетії вони відповідно гомотетичні. Гомотетичні також точки О і Н, тобто відрізки ОМ₁ і НА гомотетичні з коефіцієнтом гомотетії k=-2, що доводить твердження задачі.

Задача. Довести, що в трикутнику АВС:

АН²=4R²-а².

Доведення

Справді, оскільки Н – центр кола, описаного навколо трикутника АВС і НС₁=2R, то формула АН²=4R²-а² випливає з розгляду трикутника НАС₁.

Наслідок: АН=2R |cos A|.

Задача. Довести, що ортоцентр ділить висоти трикутника на частини, добуток яких є постійним для гострокутного трикутника.

Доведення

Доведемо для гострокутного трикутника. Оскільки Н₁НВ=АСВ (рис. 7), то НН₁ =ВН соs C.

Враховуючи формулу АН=2R |cos A|, маємо:

НН₁=2R cos В cos С і =4R cos А cos В cos С,

що доводить твердження задачі. Для гострокутного трикутника доведення аналогічне [5].

2. Бісектриси трикутника. Інцентр.

Бісектрисою кута називається промінь, який виходить з вершини кута, проходить між його сторонами і ділить кут пополам.

Бісектрисою трикутника, проведеної з даної вершини, називається відрізок бісектриси кута трикутника, що сполучає цю вершину з точкою на протилежній стороні [6].

Бісектриса трикутника є геометричним місцем точок, рівновіддалених від сторін кута трикутника.

Теорема. Три бісектриси трикутника перетинаються в одній точці.

Доведення

Бісектриси АА₁ і ВВ₁ трикутника перетинаються в т. О (рис. 8). Точка О належить АА₁ і рівновіддалена від сторін АС і АВ трикутника. Точка О належить ВВ₁ і рівновіддалена від сторін АВ і ВС трикутника. Рис. 8

Отже, точка О рівновіддалена від АС і ВС, тобто точка О належить СС₁ – бісектрисі С.

Теорема. Бісектриса трикутника ділить його сторону на відрізки, пропорційні його протилежним сторонам.

Доведення

Нехай АDB=, тоді CDB=180⁰ -, АВ=с, ВС=а, АD=с₁, CD=а₁ (рис. 9).

Рис. 9

Розглянемо ∆АВD. За теоремою синусiв .

Розглянемо ∆ВDC. За теоремою синусiв .

Розділивши отримані рівності, отримаємо:

; ; .

Точка перетину прямих, що містить бісектриси трикутника, називається інцентром.

Позначимо точки перетину продовжень бісектрис l_a, l_b, l_c внутрішніх кутів трикутника з описаним колом W₁, W₂, W₃. Зазначимо, що діаметр цього кола, якому належить одна з точок W_і (і=1,2,3), належить осі симетрії відповідної сторони трикутника.

Задача. Довести, що W₁І=W₁В=W₁С (рис. 10).

Доведення

ІСW₁=С+ВСW₁=(С+А).

Але W₁ІС=ІСА+САІ=(С+А), отже, ІСW₁=W₁ІС, тоді СW₁=ІW₁.

Але СW₁= W₁В, а тому W₁І=W₁В=W₁С. Рис. 10

Задача. Довести, що коли у трикутнику АВС (рис. 11) інцентр І належить прямій Ейлера, то цей трикутник рівнобедрений.

Доведення

Оскільки відрізок ОМ₁ паралельний відрізку АН, то трикутник ОІW₁ подібний трикутнику НІА.

Отже, .

Аналогічно .

Отже, АН=СН, а з цього випливає, що ВС=АВ.

Рис. 11

Задача. Довести, що інцентр І трикутника АВС є ортоцентром трикутника W₁W₂W₃.

Доведення

Позначимо точки перетину відрізків АW₁, ВW₂, СW₃ зі сторонами трикутника W₁W₂W₃ як Q₁, Q₂, Q₃ (рис. 12). Доведемо, що ІQ₃W₁=90⁰. Справді, СW₁=W₁І і СW₁W₂=W₁W₂А. Отже, у рівнобедреному трикутнику СW₁І відрізок Q₃W₁ – бісектриса, а отже, медіана і висота. Рис. 12

Аналогічно доводиться, що відрізки W₁Q₁ і W₂Q₂ також висоти, тобто точка І – ортоцентр трикутника W₁W₂W₃ [5].