4. Особливі точки трикутника

4.1. Точки Ейлера

Точками Ейлера називаються точки Е_1, Е_2, Е_3, які поділяють відрізки АН, ВН, СН навпіл (рис. 20).

Рис. 20

Задача. Довести, що відрізки М₁Е₁, М₂Е₂, М₃Е₃ мають спільну середину (рис. 21).

Доведення

Враховуючи співвідношення 2ОМ₁=АН, стверджуємо, що чотирикутник ОМ₁НЕ₁ – паралелограм.

Аналогічно чотирикутники ОМ₂НЕ₂ і ОМ₃НЕ₃ – також паралелограми. Всі вони мають спільну діагональ ОН, середина якої є спільною серединою розглядуваних відрізків [6].

Рис. 21

Задача. Довести, що М₁Е₁ = М₂Е₂= М₃Е₃=R.

Доведення

Справді, оскільки за співвідношенням 2ОМ₁=АН (с. 7) ОМ₁=АН=АЕ₁, то чотирикутник АОМ₁Е₁ – паралелограм (рис. 21). Отже, М₁Е₁=ОА= R. Аналогічно доводиться, що М₂Е₂= R і М₃Е₃= R [5].

Центр описаного кола, точка перетину медіан і ортоцентр належать одній прямій, яка називається прямою Ейлера.

2. . Точки Брокара

Точка Р, яка лежить всередині трикутника АВС, називається першою точкою Брокара, якщо РАС=РСВ=РВА (рис. 22).

Для другої точки Брокара повинні виконуватись рівності QАВ=QСА=QВС (рис. 23).

Рис. 22 Рис. 23

Доведемо, що для будь-якого трикутника існує рівно одна перша точка Брокара (для другої точки міркування аналогічні).

Рис. 24

Побудуємо на сторонах трикутника АВС (рис. 24) подібні йому трикутники А₁ВС, АВ₁С і АВС₁, як показано на малюнку (α, β, γ – кути трикутника АВС). Оскільки АСР=АСВ-РСВ, рівність РАС=РСВ еквівалентна рівності АРС=180⁰- γ. Але АВ₁С= γ, тому точка Брокара Р лежить на описаному колі трикутника АВ₁С.

Аналогічні міркування для інших кутів показують, що Р є точкою Брокара тоді і тільки тоді, коли вона належить описаним колам всіх трьох трикутників А₁ВС, АВ₁С і АВС₁.

Оскільки описані кола трикутників А₁ВС і АВ₁С перетинаються в двох точках і одна з них – точка С, ми тим самим довели, що існує не більше однієї першої точки Брокара. Для доведення існування точки Брокара достатньо показати, що ці три кола дійсно мають спільну точку.

Нехай Р – точка перетину описаних кіл трикутників А₁ВС і АВ₁С, відмінна від точки С. Неважко довести, що точка Р лежить всередині трикутника АВС. Маємо:

АРС=180⁰- γ, ВРС=180⁰- β,

АРВ=360⁰-АРС-ВРС= β+ γ=180⁰- α,

отже, точка Р лежить і на описаному колі трикутника АВС₁ , тобто Р – точка Брокара.

Відмітимо, що відрізки АА₁, ВВ₁ і СС₁ перетинаються в одній точці Р. Дійсно, за теоремою про вписаний кут,

А₁РС=А₁ВС= γ, А₁РВ=А₁СВ= α, С₁РВ=С₁АВ= β.

Але α+β+γ=180⁰, тому відрізок СС₁ проходить через точку Р. Аналогічно доводиться, що і відрізки АА₁ і ВВ₁ проходять через цю точку. Тим самим, ми отримали більш простий спосіб побудови першої точки Брокара [10].

Задача. Нехай Q – друга точка Брокара трикутника АВС (рис. 25), О – центр його описаного кола, А₁, В₁, С₁ – центри описаних кіл трикутників САQ, АВQ і ВСQ. Довести, що ∆А₁В₁С₁ ~ ∆АВС і О – перша точка Брокара трикутника А₁В₁С₁.

Розв’язання

Прямі А₁В₁, В₁С₁ і С₁А₁ є серединними перпендикулярами до відрізків АQ, ВQ і СQ. Тому, наприклад, В₁А₁С₁=180⁰-АQС=А.

Для інших кутів доведення аналогічно.

Крім того, прямі А₁О, В₁О і С₁О є серединними перпендикулярами до відрізків СА, АВ і ВС. Тому, наприклад, гострі кути ОА₁С₁ і АСQ мають взаємно перпендикулярні сторони, тому вони рівні. Аналогічні міркування показують, що ОА₁С₁=ОВ₁А₁=ОС₁В₁=, де - кут Брокара трикутника АВС [10].

Рис. 25