4.3. Точка Лемуана

Нехай АМ – медіана трикутника АВС (рис. 26), а пряма АS симетрична прямій АМ відносно бісектриси кута А (точка S лежить на відрізку ВС). Тоді відрізок АS називають симедіаною трикутника АВС; іноді симедіаною називається промінь АS (симедіаною також є ВК і СІ).

Симедіани трикутника перетинаються в точці, ізогонально спряженій точці перетину медіан. Точку перетину симедіан L називають точкою Лемуана [9].

Рис. 26

Якщо на сторонах ВС, СА, АВ трикутника АВС взяті точки А₁, В₁, С₁, причому прямі АА₁, ВВ₁, СС₁ перетинаються в одній точці Р, то прямі АА₂, ВВ₂, СС₂ симетричні цим прямим відносно відповідних бісектрис, також перетинаються в одній точці Q. Точки Р і Q називаються ізогонально спряжені відносно трикутника АВС.

Властивості точки Лемуана:

1. Точка Лемуана ізогонально спряжена центроїду.

2. Сума квадратів відстаней від точки на площині до сторін трикутника мінімальна, якщо ця точка є точкою Лемуана.

3. Відстані від точки Лемуана до сторін трикутника пропорційні довжинам сторін.

Задача: Доведіть, що прямі, які сполучають середини сторін трикутника з серединами відповідних висот, перетинаються в точці Лемуана.

Доведення

Нехай  К  — точка Лемуана трикутника  ABC (рис. 27);   A₁, B₁ і  C₁ - проекції точки  К на сторони трикутника  ABC;   L  — середина відрізка  B₁C₁;   N  — точка перетину прямої  KL і медіани  AM;   О  — середина відрізка  AK.

Рис. 27

Точки  B₁ і  C₁ лежать на колі з діаметром  AK, тому OLB₁C₁. Крім того,  ANB₁C₁ і   О  — середина відрізка  AK, а значить,   OL  — середня лінія трикутника  AKN і  KL = LN. Отже,   О  — середина відрізка  A₁N. Залишається відмітити, що при гомотетії з центром  M, яка переводить  N в  А, відрізок  NA₁ переводить у висоту  AH [8].

Структура зв’язків основних елементів точок трикутника

Трикутник

Висота

Центроїд

Ортоцентр

Серединні перпендикуляри

Центр описаного кола

Точки Ейлера

Центр вписаного кола

Медіана

Бісектриса

Симедіана

Точка Лемуана

Пряма Ейлера

Ортоцентричний трикутник

Бісектральний трикутник

Інцентр

Точки Брокара

Висновки

У даній курсовій роботі ми зібрали, систематизували та подали у певній структурованій формі матеріал про трикутник як геометричну фігуру. Ми визначили його основні елементи – медіани, бісектриси, висоти, розглянули та подали доведення їх окремих властивостей. На основі встановлених теоретичних фактів були розглянуті деякі важливі базові задачі, що стосуються елементів трикутника та співвідношень між ними.

У курсовій роботі ми виокремили та детально розглянули точки перетину: медіан трикутника – центроїд, висот трикутника – ортоцентр та бісектрис – інцентр. Для кожної з них подані властивості (з доведенням), а також наведені задачі (з повним розв’язанням), в яких деталізується інформація щодо вказаних точок трикутника.

Робота містить матеріал про особливі точки трикутника – точки Ейлера, Брокара, точку Лемуана. Нами виділено їх основні властивості, подано деякі задачі на використанням даного матеріалу.

Усі теоретичні факти, подані у курсовій роботі, є взаємопов’язаними, вони утворюють певну логічну структуру. Так, наприклад, точка перетину симедіан називається точкою Лемуана; центр описаного кола, точка перетину медіан і ортоцентр належать одній прямій, яка називається прямою Ейлера.

Теоретичні положення курсової роботи знайшли практичне застосування у процесі розв’язування задач (кожна теорема супроводжується кількома задачами, що виявляють окремі аспекти використання теоретичного факту).

Задачі, представлені в курсовій роботі, подані з повним розв’язанням і поясненнями, тому вони можуть бути використані вчителем під час підготовки до уроку, учнями – у процесі вивчення даної теми, при підготовці до олімпіад, а також при поглибленому вивченні предмету. Ми подали твердження та теореми з доведеннями, які мають важливе практичне значення при вивченні теми не тільки в шкільному курсі математики, але і у вищих навчальних закладах, де вивчається дана тема.

Список використаних джерел:

1. Бевз Г.П. Геометрія трикутника / Г.П. Бевз. – К. : Ґенеза, 2005.

2. Кушнир І.А. Триумф школьной геометрии / І.А. Кушнир. – К. : Наш час, 2005.

3. Кушнір І.А. З геометрією на ти! / І.А. Кушнір. – Х. : Вид. група «Основа», 2007. – 112 с.

4. Кушнір І.А. Повернення втраченої геометрії / І.А. Кушнір. – К. : Факт, 2000.

5. Кушнір І.А. Трикутник і тетраедр у задачах: Для ст. шк. віку. / І.А. Кушнір. – К. : Рад. шк., 1991. – 208 с.

6. Нікулін О.В. Геометрія. Поглиблений курс. 7-9 кл. Навч. посібник. / О.В. Нікулін, О.Г. Кукуш. – К. : Ірпінь: ВТФ «Пурун», 1999.

7. Погорєлов О.В. Геометрія: Планіметрія: Підруч. для 7-9 кл. загальноосвіт. навч. зал. – 7-ме вид. / Олексій Васильович Погорєлов. – К. : Школяр, 2004. – 240 с.

8. Прасолов В. В. Задачи по планиметрии: Учебное пособие. 5-е изд., испр. и доп. / Виктор Васильевич Прасолов.– М. : МЦНМО: ОАО «Московские учебники», 2006. – 640 с.

9. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. Ч.1. – 2-е изд., перераб. и доп. / Виктор Васильевич Прасолов. – М. : Наука. Гл. ред. физ.–мат. лит., 1991. – 320 с.

10. Прасолов В.В. Точки Брокара и изогональное сопряжение. / Виктор Васильевич Прасолов. – М. : МЦНМО, 2000. – 24 с.

11. Сисоєнко В.М. Трикутник, його елементи, особливі точки. Властивості медіани трикутника. / В.М. Сисоєнко // Математика в школах України. – 2006. – № 6. – 7–11 с.