- •Содержание
- •Математическое моделирование систем управления
- •Основные понятия
- •Математическое описание динамики сар
- •Аналитическое построение математической модели
- •Задачи проектирования многомерных систем управления
- •Преобразование Лапласа. Понятие передаточной функции
- •Типовые воздействия
- •Типовые звенья обыкновенных линейных систем
- •Идеальное интегрирующее звено (интегратор)
- •Идеальное дифференцирующее звено
- •Неидеальное интегрирующее звено
- •Дифференцирующее инерционное звено
- •Идеальное форсирующее звено
- •Апериодическое звено первого порядка
- •Колебательное звено
- •Топология систем управления. Способы соединения элементов
- •Последовательное соединение
- •Соединение с обратной связью
- •Вычисление передаточных функций
- •Свободное и вынужденное движение
- •Характеристическое уравнение. Понятие корневого годографа
- •Построение частотных характеристик
- •Методы анализа качества систем управления
- •Понятие устойчивости систем управления
- •Критерии устойчивости Гурвица и Рауса (алгебраические)
- •Критерии устойчивости Михайлова и Найквиста (частотные)
- •Корневые показатели качества
- •Анализ качества сау по переходной характеристике
- •Анализ качества сау по частотным характеристикам
- •Статические и астатические системы
- •Основы оптимизации и методы синтеза систем управления
- •Постановка задачи параметрической оптимизации
- •Методика решения задачи параметрической оптимизации
- •Синтез адаптивных систем управления
- •4.1.Постановка задачи синтеза самонастраивающихся систем
- •Процедура синтеза закона управления
- •Синтез адаптивного управления при помощи пи- регулятора
- •Экстремальные системы управления
- •Оптимальное управление
- •Аналитическое конструирование регулятора
- •Дискретные и цифровые системы управления
- •Общие сведения
- •Модели дискретных процессов
- •Квантование непрерывных сигналов и теорема прерывания
- •Использованиеz- преобразования
- •Устойчивость и качество дискретных систем
- •Цифровые системы управления
- •Отдельные вопросы теории управления
- •Управляемость и наблюдаемость
- •Инвариантные системы управления
- •Расчет и анализ чувствительности
- •Робастные системы управления
- •Литература
Критерии устойчивости Михайлова и Найквиста (частотные)
Частотные критерии устойчивости стационарных линейных систем были найдены Найквистом и Михайловым. Запишем характеристическое уравнение САУ при s = iс целью его рассмотрения в частотной области:
B(i) = bn (i)n + bn-1 (i)n-1+ ...+ bo = A () e i () = P() + i Q() = 0.
При изменении от 0 до, векторB(i)начинает описывать в комплексной плоскости кривую, которую называют кривой Михайлова:
Михайлов доказал что, для того чтобы САУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы вектор кривой B(i)при=повернулся, нигде не обращаясь в 0, вокруг начала координат против часовой стрелки на угол (n)/2, гдеn- степень характеристического уравнения. Отметим, что в неустойчивых системах нарушается последовательность прохождения кривой Михайлова квадрантов комплексной.
В 1932 году Найквистом был опубликован критерий, позволяющий судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой характеристике Z(j)разомкнутой системы, что позволило значительно упростить расчеты. Примем во внимание тот факт, что если система управления в разомкнутом состоянии неустойчива, то ее характеристическое уравнение имеетkкорней, лежащих в правой полуплоскостиs. Рассмотрим функцию
1+ Z(i) = 1 +.(2.1)
В числителе этой функции содержится характеристический полином замкнутой системы, в знаменателе – характеристический полином разомкнутой системы. Пусть степень полинома A(s) = a0 sm + a1 sm-1+ ...+ am
не выше степени nполиномаB(s)= b0 sn + b1 sn-1+ ...+ bn .Тогда степени числителя и знаменателя (2.1) одинаковы и равныn. В плоскостиs функция1+ Z(i) изображается вектором, начало которого находится в точке (-1,0), а конец расположен на амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы.
Для того, чтобы установившееся движение в замкнутой системе было устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы при возрастании от0довектор1+ Z(i),скользящий своим концом по амплитудно – фазовой характеристике разомкнутой системы, повернулся вокруг точки (-1, j) в направлении по часовой стрелкеk/2раз, гдеk– число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы. Под правыми корнями здесь понимаются корни, расположенные в правой полуплоскости комплексной плоскостиs.
Корневые показатели качества
Отметим, что основными показателями качества системы управления являются устойчивость, быстродействие и точность. Необходимым и достаточным условием устойчивости системы управления считается выполнение условия:
i < 0; (si =i+ji ,i=)
где si - корни характеристического уравнения замкнутой системы. Рассмотрим влияние вида корней характеристического уравнения замкнутой системы управления на поведение системы управления во времени в переходном и установившемся режимах при подаче на вход системы единичной ступенчатой функции.
si = i < 0, (i= 1,…,n)
si = i +j, i < 0, ( i = 1,…, n)
s i = i > 0
s i = i + j i, i > 0,
h(t)
t
si = j, автоколебания
h(t)
t
Введем в рассмотрение область задания расположения корней характеристического уравнения эталоной (идеальной) САУ:
si , (=+j:-,> 0, |||| ).
Здесь приняты следующие обозначения: - степень устойчивости;- показатель колебательности. Областьвыглядит следующим образом:
где . Для оценки качества САУ в комплексной плоскости понадобятся знания следующих характеристик:
степени устойчивости
= | max Re(si)|, Re(si) < 0, ( i = 1,…, n),
запасом устойчивости по амплитуде называется относительное
увеличение коэффициента усиления разомкнутой системы, при котором
устойчивая система доходит до границы области устойчивости;
колебательности
= |Im (sдом) / Re (sдом)|; = arctg ,
колебательность обычно имеет значение 1 - 2, но в отдельных случаях
допускается до 3;
времени регулирования
Tрег = (1/) ln (1/);
- демпфирования (затухания)
= 1 - exp(-2/),
демпфирование допускается в пределах 90-98%;
- переходной функции
функции веса
В введенных формулах приняты следующие обозначения: si- корень характеристического уравнения;sдом- доминантный полюс, то есть такой полюс, который имеет минимальный модуль;А(s)иВ(s)– соответственно полиномы числителя и знаменателя передаточной функции замкнутой системы;n- порядок полиномаВ(s);- малое действительное положительное число, характеризующее максимально допустимое отклонение процесса на выходе объекта управления от заданного после окончания переходного процесса.
Следует подчеркнуть, что корни полинома с действительными коэффициентами всегда являются либо действительными числами, либо попарно - сопряженными комплексными величинами.