3. Основы оптимизации и методы синтеза систем управления

   1. Постановка задачи параметрической оптимизации

Пусть поведение одномерной системы управления описывается дифференциальным уравнением вида:

B(p) y(t) = A(p) g(t), p = d / dt

(3.1)

_.

B(p)– операторная функция преобразования. Аналогично можно записать операторную функциюA(p).Особого внимания заслуживает рассмотрение преобразования входного сигналаg(t)в выходнойy(t):

(3.2)

–ядро операторного преобразования. Если в системе управления выделить вектор варьируемых параметров х, то последняя формула примет вид:

(3.3)

Пусть на качество САУ наложены ограничения вида:

	(3.4)
	(3.5)
| h (x, t < Tрег) - h ( х, t)|  ,	(3.6)

Здесь приняты следующие обозначения: - абсолютное значение величины перерегулирования;- статическая ошибка;h(x,t)- переходная характеристика;h (х, t)- установившееся значение переходного процесса;- требуемое значение выходной (управляемой) переменной.

Задача параметрической оптимизации для одномерной САУ, поведение которой описывается уравнением (3.3), состоит в определении таких значений компонент вектора x, принадлежащих заданной области, при которых САУ будет обладать требуемыми характеристиками. Решение задачи сложный и трудоемкий процесс, часто с трудно разрешимыми ситуациями. «Метод проб и ошибок» в поиске рациональных параметров не является эффективным. Рассмотрим решение на основе моделирования процессов в комплексной плоскости. В качестве модели САУ будем рассматривать модель вида:

Y(x,s) =W(x,s) *G(s),

(3.7)

Воспользуемся доказанным утверждением [6]. Для выполнения условий (3.4) - (3.6), налагаемых на качество управления во временной области, достаточно выполнение следующих условий в комплексной плоскости:

| sY(x,s) -|,	(3.8)
s, (=+j:-,> 0, |||| ).	(3.9)

В связи с этим задача параметрической оптимизации может быть переформулирована следующим образом. Для САУ, поведение которой описывается уравнением (3.7), требуется найти такие значения компонент вектора оптимизируемых параметров х = хопт., при которых система управления будет обладать требуемым качеством (3.8) – (3.9) за счет максимального приближения к эталоной системе управления, чтобы целевая функцияF(x),характеризующая такое приближение, принимала минимальное значение.

2. Методика решения задачи параметрической оптимизации

Прежде чем перейти к решению задачи, рассмотрим влияние полюсов и нулей на статические и динамические характеристики системы управления.

Запишем выражение установившегося процесса на выходе одномерного объекта управления:

_.

Отметим, что если нуль и полюс находятся близко друг к другу, а именно: на расстоянии менее чем 0.1 модуля, то влияние такого полюса ослабляется нулем, то есть полюс не оказывает существенного влияния на динамические характеристики системы управления. Рассмотрим пример. Пусть выходная функция Y(s)имеет вид:

, ( s₁^п = - 5.2,s₂^п = - 8,s₁^н = -5).

Поскольку расстояние между нулем и первым полюсом намного меньше модуля корня, то влиянием ближайшего к нулю полюса можно пренебречь, так как он оказывает несущественное влияние на динамику системы управления в целом. Рассмотрим ситуацию, когда многомерная система управления, описываемая системой уравнений (3.8), не удовлетворяет требованиям качества, это означает, что некоторые полюсы выходят за границу области или нули оказывают отрицательное влияние на качество управления. Идеальной системой управления будем считать такую систему, которая имеет заданное расположение полюсов и нулей или заданный корневой годограф. Для решения задачи параметрической оптимизации введем в рассмотрение расположение идеальных полюсов и нулей. Известные формулы перехода от корней алгебраического уравнения к его коэффициентам позволяют найти передаточную функцию эталоной системы управления вида:

.

(3.10)

Передаточная функция оптимизируемой по параметрам системы управления может быть представлена в виде:

.

(3.11)

Таким образом, имеем эталоную передаточную функцию в виде (3.10) и реальную в виде (3.11). Метод параметрической оптимизации основан на приближении реальной системы управления к эталоной как можно ближе за счет оптимальной настройки параметров x. Введем в рассмотрение оптимизируемую функцию как средне - квадратичную ошибку аппроксимации по коэффициентам передаточных функций эталоной и оптимизируемой по параметрам систем управления. Целевая функция примет вид:

Здесь приняты следующие обозначения: a_l(x), -соответственно коэффициенты полиномовA(x,s)и;b_l(x),- соответственно коэффициенты полиномовB(x,s)и. ФункцияF(x)– алгебраическая. Для нахождения ее минимума на множествеX, заданном ограничениями вида:_l(х) = 0, (l=), воспользуемся подходом основанным на введении неопределенных множителей Лагранжа[2], что предполагает решение системы уравнений вида:

Ф(x,) =F(x)+

(3.12)

где k- размерность вектора. Первые уравнения вытекают из приравнивания к нулю производных функцииФ(x, )по переменным вектора.Минимум функцийF(x)иФ(x, )будет достигнут в точкеx = x_опт, найденной из решения (3.13), если в этой точке будет выполнено условие положительности квадратичной формы ( условие Вейерштрасса):

(3.13)

где x_i,xj- малые приращения компонент векторах. Следовательно, чтобыx = x_оптбыла точкой, в которой целевая функция принимает минимальное значение, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке выполнялись условия (3.12) и (3.13). Для решения (3.12) используются известные методы, в частности, численный метод решения системы нелинейных алгебраических уравнений Ньютона - Рафсона. Отметим, что любые неравенства, накладываемые на неизвестные параматры векторах, можно привести к равенствам, вводя дополнительные неизвестные. Например, пусть имеем ограничение вида: х<5, которое можно переписать в виде: х=5 - х, где хдополнительно вводимый параметр, подлежащий определению наравне с остальными параметрами векторах.

Рассмотрим применение методики параметрической оптимизации на конкретной задаче.

Проектирование САР с ПИД - регулятором в контуре управления.

Пусть задана схема управления в виде:

В схеме известен вид передаточных функций звеньев:

W_p = k_p; W _i= k_i /s; W_d = k_d s; W^ор (s) = k / (s + a).

Нужно найти значения вектора параметров x = (k_p, k_i, k_d),при которых корниs_iхарактеристического уравнения замкнутой системы будут принадлежать области качества, определяемой параметрами = 2,  1. Решение будем строить по шагам:

1. Найдем передаточную функцию разомкнутой системы управления:

W_раз. (x, s) = (k_p + k_i/s + k_ds) k /(s + a) = k(sk_p + k_i + k_ds²)/(s(s +a)).

2. Определим передаточную функцию замкнутой системы:

.

3. Запишем характеристическое уравнение замкнутой системы:

.

4. Зададим эталоное расположение корней характеристического уравнения

и по ним составим характеристическое уравнение:

, =s²+ 5s+ 6 = 0.

4. Cоставим целевую функциюF(x)на основе минимизации невязок коэффициентов двух характеристических уравнений:

.

Отметим, что поскольку на параметры вектора хне наложены ограничения, то имеем дело с задачей безусловной оптимизации. Для достижения минимума положительной квадратичной функцииF(x)достаточно, чтобы нулю равнялись все три слагаемые, а именно:

Если мы используем необходимое и достаточное условие минимальности F(x), то получаем следующую систему уравнений:

Поскольку оптимизируемая функция является положительной квадратичной, она имеет один экстремум – минимум и, следовательно, нет необходимости проверять условие Вейерштрасса, то есть положительность квадратичной формы.

Рассмотрим алгоритм параметрической оптимизации для многомерной САУ. Его применение предполагает выполнение следующих этапов:

1. Задание схемы САУ, передаточных функций звеньев, вектора оптимизируемых параметров х, ограничений(x),начального значения

х = х⁰.

2. Выполнение декомпозиции схемы на каналы вход - выход.

3. Нахождение матрицы W(x,s).

4. Анализ качества системы управления по расположению нулей и полюсов матрицы W(x,s) при х = х⁰. Если качество удовлетворительно, то нужно перейти к п.9.

5. Задание эталоной системы управления в виде .

6. Формирование целевых функций Ф(x,), F(x).

7. Решение задачи оптимизации для Ф(x,)  min илиF(x)  min.

8. Вывод результатов в виде значений вектора х.

9. Конец алгоритма.

При автоматизации производственных процессов возникает задача выбора типового регулятора и определение его параметров, обеспечивающих заданное качество управления объектом. При этом обычными приемами синтеза регулятора являются: выбор закона регулирования в виде уравнений динамики регулятора; определение передаточной функции САР; исследование САР на устойчивость; определение параметров настройки регулятора в соответствии с требованиями, налагаемыми на качество управления. Если не удается настроить параметры регулятора должным образом, то проектирование продолжается в направлении усложнения регулятора. Под сложностью регулятора понимают порядок его уравнений. Обычно сложность регулятора не превышает сложности объекта регулирования.