- •Содержание
- •Математическое моделирование систем управления
- •Основные понятия
- •Математическое описание динамики сар
- •Аналитическое построение математической модели
- •Задачи проектирования многомерных систем управления
- •Преобразование Лапласа. Понятие передаточной функции
- •Типовые воздействия
- •Типовые звенья обыкновенных линейных систем
- •Идеальное интегрирующее звено (интегратор)
- •Идеальное дифференцирующее звено
- •Неидеальное интегрирующее звено
- •Дифференцирующее инерционное звено
- •Идеальное форсирующее звено
- •Апериодическое звено первого порядка
- •Колебательное звено
- •Топология систем управления. Способы соединения элементов
- •Последовательное соединение
- •Соединение с обратной связью
- •Вычисление передаточных функций
- •Свободное и вынужденное движение
- •Характеристическое уравнение. Понятие корневого годографа
- •Построение частотных характеристик
- •Методы анализа качества систем управления
- •Понятие устойчивости систем управления
- •Критерии устойчивости Гурвица и Рауса (алгебраические)
- •Критерии устойчивости Михайлова и Найквиста (частотные)
- •Корневые показатели качества
- •Анализ качества сау по переходной характеристике
- •Анализ качества сау по частотным характеристикам
- •Статические и астатические системы
- •Основы оптимизации и методы синтеза систем управления
- •Постановка задачи параметрической оптимизации
- •Методика решения задачи параметрической оптимизации
- •Синтез адаптивных систем управления
- •4.1.Постановка задачи синтеза самонастраивающихся систем
- •Процедура синтеза закона управления
- •Синтез адаптивного управления при помощи пи- регулятора
- •Экстремальные системы управления
- •Оптимальное управление
- •Аналитическое конструирование регулятора
- •Дискретные и цифровые системы управления
- •Общие сведения
- •Модели дискретных процессов
- •Квантование непрерывных сигналов и теорема прерывания
- •Использованиеz- преобразования
- •Устойчивость и качество дискретных систем
- •Цифровые системы управления
- •Отдельные вопросы теории управления
- •Управляемость и наблюдаемость
- •Инвариантные системы управления
- •Расчет и анализ чувствительности
- •Робастные системы управления
- •Литература
Дискретные и цифровые системы управления
Общие сведения
Линейной системой импульсного регулирования называется такая система автоматического регулирования, которая кроме звеньев, описываемых обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями, содержит импульсное звено, преобразующее непрерывное входное воздействие в равноотстоящие друг от друга импульсы. Рассмотрим принцип работы дискретных систем управления, которые наряду с цифровыми относятся к импульсным системам. Будем считать [5], что квантование сигналов х(t)по времени осуществляется с постоянным интервалом (периодом)Т, и сигналы дискретной системыx(kT)представлены последовательностями идеальных импульсов различной амплитуды, определенных в равноотстоящие моменты времениt = kT. Целое число
k = 0,1,2,…называется дискретным временем, а сами амплитудно - модулированные импульсные последовательности - решетчатыми функциями. С целью упрощения обозначений дискретные сигналы рассматриваемого типа часто записываются просто как функции дискретного времениx(k), т.е.
.
Описание дискретного процесса может быть представлено как решение разностного уравнения. Наиболее распространены разностные уравнения
n– го порядка (модели вход – выход) и системы уравнений первого порядка
(модели вход – состояние - выход), а также их операторные формы. Дискретные модели либо отражают динамику реальных квантованных по времени процессов, либо являются одной из форм приближенного описания систем непрерывного действия. В последнем случае возникает необходимость рассмотрения вопросов квантования и методов преобразования динамических систем к дискретной форме, т.е. их дискретизации.
Модели дискретных процессов
Разностные уравнения, описывающие динамику систем дискретного времени получаются в результате анализа реальных процессов в различные моменты дискретного времени k.
Пример 5.1.Рассмотрим цифровой накопитель (счетчик), содержимое которого в дискретные моменты времениkописывается функцией
с начальным значением . В моментk на вход счетчика поступает сигнал, в результате чего в последующий момент дискретного времениk + 1происходит увеличение содержимого счетчика на величину этого сигнала:
(5.1)
Последнее выражение и является моделью счетчика, представленной в форме разностного уравнения первого порядка. Уравнение (5.1) можно записать в операторной форме. Введем в рассмотрение оператор сдвига (упреждения) z, действующий по схеме
и после элементарных преобразований получим
(5.2)
Оператор 1/(z - 1)является передаточной функцией дискретной системы (5.1).
Пример 5.2.Проанализируем прохождение однородных предметов (товаров) в торговой системе склад – магазин, функциональная схема которой представлена на рисунке
Рис. 5.1. Система склад – магазин
Здесь - число товаров в магазине,- товары, поступающие со склада,- заказанное количество товаров (заказ),- число реализованных (проданых) товаров,k– дискретное время в днях. Начальное состояние системы (в моментk =0) характеризуется значениямии.
Динамика товаров в магазине описывается разностным уравнением
(5.3)
в котором число проданных единиц товара f(t)выступает в роли возмущающего воздействия. Полагая, что заявка выполняется складом с задержкой в один день, запишем модель склада в виде
(5.4)
где заявка u(k)на требуемое количество товара играет роль управляющего воздействия. Если задача управления ставится как задача регулирования объема товаров в магазине, то переменнаясчитается выходом системы:
. (5.5)
Таким образом, рассматриваемая система описывается уравнениями состояния (5.3) – (5.4) и уравнением выхода (5.5). Разностные уравнения состояния связывают значения переменных состояния ив последующий момент дискретного времениk + 1(следующий день) с переменными системы в текущий момент времениk. С использованием оператора сдвигаzполученые разностные уравнения (5.3) – (5.4) можно привести к операторной форме:
удобной для построения структурной схемы
Рис. 5.2. Структурная схема склад – магазин
Модель дискретной системы может быть также представлена в форме вход – выход. Для этого уравнение (5.3) переписывается для времени k + 2:
После подстановки выражений (5.4) и (5.5), находим
Полученное разностное уравнение второго порядка связывает объемы товаров в моменты дискретного времени k+2 и k+1 с соответствующими значениями заказаu(k) и продаж f(k+1).
Для решения задачи стабилизации количества товаров в магазине yна заданном уровнеможет быть использована простейшая стратегия управления заказами – пропорциональный алгоритм управления
где - отклонение,К– постоянный коэффициент. Графики процессов в такой системе при постоянном спросеf(k) = constприведены на рисунках и представлены решетчатыми функциями:
Рис. 5. 3. Процессы системы склад – магазин