- •Московский государственный открытый университет в.П.Грехов, м.Н. Зарицкий, г.А.Ключникова, а.В.Куприков теория автоматического управления
- •1. Основные понятия и определения
- •2. Математическое описание звеньев и систем автоматического управления
- •2.1. Передаточные функции линейных звеньев и систем автоматического управления
- •Формула преобразования Лапласа
- •2.2. Передаточные функции соединения звеньев
- •2.3. Структурные схемы линейных сау и их преобразование
- •3. Характеристики линейных звеньев и систем
- •3.1. Временные характеристики
- •3.2. Частотные характеристики
- •3.3. Типовые динамические звенья и их передаточные функции
- •В) Идеальное дифференцирующее звено
- •3.4. Временные характеристики типовых динамических звеньев
- •3.5. Частотные характеристики типовых динамических звеньев
- •3.6. Построение логарифмических частотных характеристик последовательного
- •4. Устойчивость линейных систем автоматического управления с постоянными параметрами
- •4.1. Введение в теорию устойчивости линейных стационарных сау
- •Математическое определение понятия “устойчивость”
- •4.2. Алгебраические критерии устойчивости
- •4.3. Частотный критерий устойчивости Найквиста
- •4.4. Анализ устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам. Запасы устойчивости
- •4.5. Влияние структуры и суммарного коэффициента системы на устойчивость
- •5. Синтез замкнутых систем регулирования
- •5.1. Содержание технических требований
- •Ступенчатого воздействия fз
- •5.2. Общий порядок синтеза корректирующего устройства и вид желаемой лачх
- •С вч – участком (-40 дб/дек)
- •(-60 Дб/дек) рис. 5.3.А - –20, -20, -60 дб/дек; рис.5.3.Б - -40, -20, -60 дб/дек
- •5.3. Передаточные функции типовых замкнутых систем регулирования
- •5.4. Пример синтеза системы регулирования Задача
- •Технические требования к системе регулирования
- •Передаточные функции двигателя по управляющему воздействию и по возмущению.
- •Определение параметров желаемой передаточной функции.
- •Определение передаточной функции корректирующего устройства
- •Техническая реализация корректирующего устройства
- •В синтезированной системе электропривода
- •6. Многоконтурные системы регулирования
- •6.1. Многоконтурные системы с подчиненным регулированием координат
- •I, , - регулируемые координаты,f1, f2, f3 - возмущения
- •6.2. Принципы оптимизации в системах подчиненного регулирования
- •Модульный оптимум настройки контуров регулирования
- •Симметричный оптимум настройки контуров регулирования
- •6.3. Порядок синтеза контуров в системах с подчиненным регулированием координат
- •6.4. Тиристорный преобразователь и шир – регуляторы как динамические звенья
4.2. Алгебраические критерии устойчивости
Наиболее распространен в инженерной практике алгебраический критерий Гурвица. Ниже приведены формулировки и методика применения критерия Гурвица.
Критерий Гурвица.
Запишем характеристическое уравнение системы n-го порядка
.
Примечание. В некоторых учебниках и задачниках по курсу ТАУ используют другую индексацию коэффициентов, а именно: .
Однако, важна не индексация коэффициентов характеристического уравнения, а соответствие каждого из них порядку производной в дифференциальном уравнении. Поэтому формально целесообразно использовать форму записи, при которой индекс коэффициента соответствует порядку производной.
Для анализа устойчивости с помощью критерия Гурвица необходимо составить матрицу коэффициентов характеристического уравнения следующего вида:
(4.10)
Линейная система устойчива, если при > 0 положительны все диагональные миноры матрицы коэффициентов, т.е.
= > 0
= > 0
= > 0
и т.д., или в общем виде
= > 0, i = 1,2, ..., n (4.11)
Если хотя бы один из определителей (4.11) отрицателен, то система неустойчива.
Так как последний столбец главного определителя содержит всегда только один элемент , отличный от нуля, то согласно известному свойству определителей
= . (4.12)
Если = 0, а все остальные определители положительны, то система находится на границе устойчивости. С учетом (4.12) это условие распадается на два:
= 0 и = 0. (4.13)
Условию = 0 соответствует один нулевой корень, т.е. апериодическая граница устойчивости, а условию = 0 - пара мнимых корней, т.е. колебательная граница устойчивости.
Совершенно очевидно, что для систем первого и второго порядка необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность коэффициентов характеристического уравнения.
Для системы третьего порядка с характеристическим уравнением
условие устойчивости
(4.14)
Последнее неравенство при >0 эквивалентно неравенству >0. Следовательно, для системы третьего порядка, кроме положительности всех коэффициентов характеристического уравнения, требуется, чтобы> 0.
Учитывая выражение для, можно сформулировать мнемоническое правило оценки устойчивости систем третьего порядка:
произведение средних коэффициентов характеристического уравнения должно быть больше произведения крайних.
Для устойчивости системы четвертого порядка с характеристическим уравнением
(4.15)
кроме положительности всех коэффициентов требуется выполнение условия
> 0. (4.16)
Нетрудно доказать, что при положительности всех коэффициентов условие (4.16) обеспечивает выполнение необходимого неравенства > 0.
Таким образом,
для устойчивости систем не выше четвертого порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения и определитель были положительными.
Критерий Гурвица целесообразно применять для анализа устойчивости систем не выше пятого порядка. При n>5 достаточные условия устойчивости усложняются, а вычисления определителей становится громоздким.
Пример 4.1. Определим с помощью критерия Гурвица устойчивость САУ при следующих значениях параметров:
TЯ = 0,15 c; TM = 1 c; TП = 0,01 c; KΣ = 15.
Характеристическое уравнение системы
(TП p + 1)( TЯ TM p2 + TM p + 1) + KΣ = 0,
или ,
где a3 = TП TЯ TM = 0.01 1 0,15 = 0,0015 c3;
a2 = TЯ TM + TП TM = 1 0,15+ 1 0,01 = 0,16 c2;
a1 = TM + TП = 1 + 0,01 = 1,01 c;
a0 = 1+15 = 16.
Все коэффициенты характеристического уравнения положительны, т.е. необходимое условие устойчивости выполняется. Проверим выполнение достаточного условия, для чего вычислим определитель
2 = a1 a2 - a3 a0 = 1,01 0,16 - 0,0015 16 = 0,1616 - 0,0224 = +0,1376,
2 > 0, следовательно, система устойчива.
Решим теперь обратную задачу: определим, какое максимальное значение суммарного коэффициента усиления К допустимо по условию устойчивости.
Максимальное допустимое значение К определяется из условия нахождения системы на границе колебательной устойчивости. Это значение К называют критическим или граничным
2 = a1 a2 - a3 a0кр = 0,
отсюда a0кр = a1 a2 /a3 = 1,01 0,16/0,0015 = 107,73.
Ккр = a0кр - 1 = 107,73 - 1= 106,73.
Следовательно, рассмотренная в примере система устойчива, если К < Ккр.