- •Часть 1. Статика
- •1.1. Равновесие тел под действием произвольной плоской системы сил
- •1.2. Равновесие тел под действием произвольной пространственной системы сил
- •1.3. Равновесие при наличии трения
- •1.4. Приведение произвольной системы сил к простейшему виду
- •1.5. Центр тяжести
- •Часть 2. Кинематика
- •2.1. Кинематика точки
- •2.2. Простейшие движения твердого тела
- •2.3. Сложное движение точки
- •2.6. Сферическое движение твердого тела
1.4. Приведение произвольной системы сил к простейшему виду
Основная теорема статики. Произвольную систему сил, действующую на твердое тело, можно заменить эквивалентной системой, состоящей из силы и пары сил. Сила равна главному вектору системы сил и приложена в произвольно выбранной точке тела (центре приведения), момент пары равен главному моменту системы сил относительно этой точки.
Главный вектор системы сил :
определяется своими проекциями на оси координат:
, , ,
.
Главный момент системы сил относительно центра O:
определяется своими проекциями на оси координат:
, , ,
.
Возможны следующие случаи приведения системы сил к центру:
1. , .
Система сил приводится к равнодействующей. Линия действия равнодействующей проходит через центр приведения.
2. , .
Система сил приводится к паре сил.
3. , , − система сил имеет равнодействующую, которая не проходит через центр приведения. Ее линия действия определяется уравнениями
4. , , − система сил приводится к динамическому винту (силе и паре, лежащей в плоскости, перпендикулярной силе).
Момент пары сил динамического винта
.
Ось динамического винта определяется уравнениями
.
5. , − уравновешенная система сил.
Пример 1.4.1. Привести систему сил (рис. 1.4.1) к простейшему виду, если F1 = 5 Н, F2 = 15 Н, F3 = 10 Н, F4 = 3 Н, a = 2 м.
Решение:
1. За центр приведения выберем начало координат – точку O (рис. 1.4.2) и укажем углы и , определяющие положение силы .
2. Найдем проекции главного вектора на оси координат:
,
,
.
Откуда
Н, Н, Н,
Н.
3. Вычислим проекции главного момента относительно точки О на оси координат:
,
,
,
Откуда
Н·м, Н·м, Н·м,
Н·м.
4. Найдем величину скалярного произведения главного вектора и главного момента
.
Так как , то система сил приводится к правому динамическому винту. Вектор момента пары динамического винта и главный вектор совпадают по направлению.
5. Уравнения оси динамического винта имеет вид:
или с учетом найденных значений:
или
.
Для построения оси динамического винта найдем точки A и B ее пересечения с координатными плоскостями Oxy и Oyz, соответственно
–1,703 м
–0,203 м 1,063 м
1,995 м
6. Определим момент пары сил динамического винта
Н·м.
7. По координатам точек A и B изобразим ось динамического винта (рис. 1.4.3). В произвольной точке этой оси укажем силу, равную главному вектору и вектор момента пары .
Задача 1.4.1. Имеет ли равнодействующую система сил, для которой главный вектор и главный момент относительно центра О .
Ответ: да.
Задача 1.4.2. Имеет ли равнодействующую система сил, для которой главный вектор и главный момент относительно центра О .
Ответ: нет.
Задача 1.4.3. Определить расстояние от центра приведения О до линии действия равнодействующей системы сил (рис. 1.4.4), если ее главный вектор R = 15 Н и главный момент МО = 30 Н·м.
Ответ: 2 м.
Задача 1.4.4. Определить угол между главным вектором и главным моментом изображенной на рисунке 1.4.5 системы сил, принимая за центр приведения точку O, если F1 = F2 = 2 Н, момент пары сил M1 = 3 Н·м, OА = 1,5 м.
Ответ: α = 0º.
З
Ответ: α = 135º.
Задача 1.4.6. Найти главный вектор и главный момент системы сил, изображенной на рисунке 1.4.7, если F1 = F2 = F3 = 7 Н, а ОА = ОВ = ОС = 2 м. За центр приведения принять точку О.
Ответ: R = 0, МО = 17,146 Н·м.
Рис. 1.4.6 |
Рис. 1.4.7 |
Ответ: система сил приводится к паре сил с моментом М = 48 Н·м.
Задача 1.4.8. Привести систему сил, приложенных к вершинам куба (рис. 1.4.9), к простейшему виду, если F1 = 15 Н, F2 = 40 Н, F3 = 25 Н, F4 = F5 = 20 Н, a = 1,5 м.
Ответ: система сил приводится к паре сил с моментом М = 63,65 Н·м.
Задача 1.4.9. Привести систему сил, приложенных к правильной четырехугольной пирамиде, как показано на рис. 1.4.10, к простейшему виду, если F1 = F2 = F3 = F4 = 1 Н, F5 = 2,83 Н, АВ = AS = 2 м.
Ответ: система сил уравновешена.
Рис. 1.4.8 |
Рис. 1.4.9 |
Рис. 1.4.10 |
Рис. 1.4.11 |
Ответ: система сил приводится к равнодействующей R = 32 Н, линия действия которой параллельна оси Oy и проходит через точку А (0,9; 0; 0).
Задача 1.4.11. Привести систему сил, приложенных к вершинам прямоугольного параллелепипеда (рис. 1.4.12), к простейшему виду, если F1 = F3 = 3 Н, F2 = F6 = 6 Н, F4 = F5 = 9 Н, a = 3 м, b = 2 м, c = 1 м.
Ответ: система сил уравновешена.
Задача 1.4.12. Привести систему сил, приложенных к вершинам прямоугольного параллелепипеда (рис. 1.4.13), к простейшему виду, если F1 = F4 = F5 = 50 Н, F2 = 120 Н, F3 = 30 Н, a = 4 м, b = 3 м, c = 5 м.
Ответ: система приводится к равнодействующей R = 80 Н, линия действия которой параллельна оси Oy и проходит через точку А (0,0,10).
Задача 1.4.13. Привести систему сил, приложенных к вершинам куба (рис. 1.4.14), к простейшему виду, если a = 1 м, F1 = 866 Н, F2 = F3 = F4 = F5 = 500 Н. При решении принять .
Ответ: система приводится к равнодействующей R = 7,07 Н.
Рис. 1.4.12 |
Рис. 1.4.13 |
Рис. 1.4.14 |
Рис. 1.4.15 |
Ответ: система сил приводится к динамическому винту с R = 1,41 Н и М = 1,73 Н·м, ось силового винта проходит через вершину S перпендикулярно основанию пирамиды.
Задача 1.4.15. Вес радиомачты с основанием G = 140 кН. К мачте приложены сила натяжения антенны F = 20 кН и равнодействующая сил давления ветра P = 50 кН; обе силы горизонтальны и расположены во взаимно перпендикулярных плоскостях (рис. 1.4.16). Определить результирующую реакцию грунта, в котором уложено основание мачты.
Ответ: распределенная система сил реакции грунта приводится к левому динамическому винту с силой равной 150 кН и парой с моментом 60 кН∙м. уравнение центральной винтовой оси имеет вид
.