Лабораторная работа № 1

1. Логические элементы эвм и синтез цифровых устройств

Целью работы является:

- ознакомление с системой логических элементов, реализующих элементарные функции алгебры логики (ФАЛ);

- ознакомление с программой схемотехнического моделирования ELECTRONIC WORKBENCH 3.0 и ее применение для синтеза и анализа цифровых устройств ЭВМ;

- исследование возможностей реализации сложных логических функций, их минимизации и синтезом логических схем.

Основные теоретические положения.

Математической основой цифровой электроники и вычислительной техники является алгебра логики или булева алгебра (по имени английского математика Джона Буля).

В булевой алгебре независимые переменные или аргументы (X) принимают только два значения: 0 или 1. Зависимые переменные или функции (Y) также могут принимать только одно из двух значений - 0 или 1. Функция алгебры логики представляется в виде:

Y= F (X₁, X₂,... Хn)

Данная форма задания ФАЛ называется алгебраической.

Основными алгебраическими функциями являются:

- НЕ- логическое отрицание (инверсия) Y= X

- ИЛИ- логической сложение (дизъюнкция)

Y= X₁+ X₂ или Y= X₁ v Х₂

- И- логическое умножение (конъюнкция)

Y=X₁ * X₂ или Y= X₁  X₂

К более сложным функциям алгебры логики относятся:

- функция равнозначности (эквивалентности) Y= X₁  Х₂

- функция неравнозначности (сложение по модулю два)

Y= X₁  X₂

-ИЛИ- НЕ- функция Пирса (логическое сложение с отрицанием)

1. Y= X₁ + X₂

- И- НЕ- функция Шеффера ( логическое умножение с отрицани­ем)

Y= X₁ * X₂

Для Булевой алгебры справедливы следующие законы и правила:

- распределительный закон

X₁ ( Х₂ + Х₃) = X₁ * Х₂ + X₁ * Х₃

X₁ + X₂ * Х₃ = (X₁ + X₂) ( X₁ + Х₃) ;

- правило повторения

Х * Х = Х, Х + Х = Х ;

- правило отрицания

Х *Х = 0, Х +Х = 1;

-теорема де Моргана

X₁ + X₂ = X₁ * X₂, X₁ * Х₃ = X₁ + Х₂;

- тождества

Х * 1 = Х, Х+0=Х, Х * 0 = 0, Х + 1 = 1.

Схемы, реализующие логические функции, называются логически­ми элементами. Основные логические элементы имеют, как пра­вило, один выход (Y) и несколько входов, число которых равно числу аргументов (X₁, X₂, Х₃ . . . Xn). На рис. 1.1-7.1 представлены логические элементы, реализующие рассмотренные функции. Там же представлены так называемые таблицы состояний или таблицы истинности, описывающие соответствующие логические функции в двоичном коде в виде состояний входных и выходных переменных. Таблица истинности является табличным способом задания ФАЛ. На рис.1.1 представлен элемент НЕ, реализующий функцию логического отрицания.

Рис.1.1

Элемент ИЛИ (рис.2.1) и элемент И (рис.3.1) реализуют функции логического сложения и логического умножения соответственно.

Х₁

Х₂

X1	X2	Y
0	0	0
1	0	1
0	1	1
1	1	1

Рис. 2.1

Х₁

Х₂

X1	Х2	Y
0	0	0
1	0	0
0	1	0
1	1	1

Рис.3.1

Функции Пирса и Шеффера реализуются с помощью элементов ИЛИ-НЕ и И-НЕ, представленных на рис. 4.1 и рис.5.1 соответственно.

Х₁

Х₂

Х1	Х2	Y
0	0	1
1	0	0
0	1	0
1	1	0

Рис. 4.1

Х₁ Х₂

Х1	Х2	Y
0	0	1
1	0	1
0	1	0
1	1	0

Рис.5.1

Элемент Пирса можно представить в виде последовательного со­единения элемента ИЛИ и элемента НЕ, а элемент Шеффера - в виде последовательного соединения элемента И, НЕ. На рис. 6.1 и рис.7.1 представлены элементы Исключающее ИЛИ и НЕ Исключающее ИЛИ, реализующие функции неравнозначности и рав­нозначности соответственно.

Х₁ Х₂

Х1	Х2	Y
0	0	0
1	0	1
0	1	1
1	1	0

Рис. 6.1

Х1	Х2	Y
0	0	1
1	0	0
0	1	0
1	1	1

Рис. 7.1

Логические элементы, реализующие операции конъюнкции, дизъ­юнкции, функции Пирса и Шеффера, могут быть в общем случае n- входовые. Для них в таблицах истинности будет N= 2^й число возможных комбинаций входных переменных. ФАЛ любой сложности можно реализовать с помощью указанных логических элементов. Сложными ФАЛ описывается работа многих цифровых устройств ЭВМ. При этом имеют дело с техническим аналогом булевой функции - комбинационной схемой, выполняю­щей соответствующее этой функции преобразование информации. Кроме табличного задания ФАЛ или булевой функции существует алгебраический способ. Чтобы перейти к алгебраической форме следует применить правило образования так называемой СДНФ (Совершенной Дизъюнктивной Нормальной Формы). По этому пра­вилу переход производится в следующем порядке:

1. по каждому набору двоичных переменных, при котором функ­ция принимает значение единицы составляют элементарные конъ­юнкции (минтермы) ;

2. в элемент строки конъюнкции записывают неинвертированными переменные, заданные единицей в таблице истинности, инверти­рованными - те переменные, которые в таблице истинности за­даны нулем;

3. элементарные конъюнкции соединяются знаком дизъюнкции.

Пример.

Функция Y (Х₁, Х₂, Х₃) задана таблицей истинности. Следует образовать ее СДНФ.

Х1	Х2	Х3	Y	МИН ТЕРМ
0	0	0	0	-
0	0	1	1	Х1, Х2, Х3
0	1	0	1	Х1, Х2, Х3
0	1	1	0	-
1	0	0	1	Х1, Х2, Х3
1	0	1	0	-
1	1	0	0	-
1	1	1	1	Х1, Х2, Х3

По данной таблице находим, что функция Y принимает значение единицы при четырех наборах аргументов, поэтому функция Y в СДНФ будет состоять из логической суммы четырех минтермов:

Y= Х₁ Х₂ Х₃ + Х₁ Х₂ Х₃ + Х₁ Х₂ Х₃ + Х₁ Х₂ Х₃

Данная логическая функция определяет принцип построения схемы цифрового устройства, которое имеет четыре трехвходовых элемента И, один четырехвходовой элемент -ИЛИ- и два элемента -НЕ-.

Основными требованиями при составлении (синтезе) схемы уст­ройства являются- минимальное число логических элементов и однородность используемых операций. С целью минимизации в схеме числа элементов производят упро­щение логического выражения функции. Основными способами ми­нимизации являются:

- использование законов и правил алгебры логики;

- с помощью карт Карно (диаграмм Вейча);

Пример минимизации с использованием первого способа.

Пусть СДНФ функция имеет вид: Y= Х₁ Х₂ Х₃ + Х₁ Х₂ Х₃ + Х₁ Х₂ Х₃ + Х₁ Х₂ Х₃

Используя правило повторения, а также правило отрицания и распределительный закон запишем функцию в следующем виде:

Y= Х₁ Х₂ Х₃ + Х₁ Х₂ Х₃ + Х₁ Х₂ Х₃ + Х₁ Х₂ Х₃ + Х₁ Х₂ Х₃ + Х₁ Х₂ Х₃ = Х₂ Х₃ (Х₁ + Х₁) + Х₁ Х₃ (Х₂ + Х₂) + Х₁ Х₂ (Х₃ + Х₃) = Х₂ Х₃ + Х₁ Х₃ + Х₁ Х₂